Al azar de las matemáticas

Pablo Ferrari es un matemático argentino que vive desde hace mucho tiempo en Brasil, donde se desempeña como investigador en el Instituto de Matemática y Estadística de la Universidad de San Pablo. Está considerado uno de los máximos especialistas internacionales en su área, y una reciente encuesta hecha en Brasil lo calificó cuarto entre todos los matemáticos de ese país (precedido sólo por gente de mucho más edad que él). Y, dicho sea de paso, primero entre el bastante nutrido grupo de argentinos que la persecución política obligó a radicarse en Brasil.

Por Leonardo Moledo

--Bueno, usted ya vio la introducción elogiosa que hice, así que ahora cuénteme cual es su especialidad y en qué temas trabaja.
--Trabajo en probabilidad y procesos estocásticos, con perdón de la palabra.
--¿Por qué con perdón?
--Porque no es muy conocida la palabra.
--Y entonces, ¿por qué no me cuenta qué es, y qué son los procesos estocásticos?
--Procesos aleatorios o azarosos, pero que de alguna manera dependen del tiempo. Por ejemplo tirar una moneda al aire y ver si sale carta o ceca es un proceso estocástico claro. En los libros de probabilidad se dice que un proceso determinístico es cuando, si uno repite las condiciones del experimento el resultado es el mismo. En cambio en probabilidades, el resultado es impredecible.
--No parecía tan terrorífico.
--Cierto. No lo es, en realidad.
--¿Y aparte de las monedas?
--Le digo algo más sobre las monedas. Mire, por increíble que parezca, el modelo de las monedas es uno de los modelos más simples que se usan para simular las cotizaciones de la bolsa.
--Parece increíble, en efecto.
--Mire, hay un punto en que una serie de tiradas de moneda se parece a la bolsa. Con la moneda, lo que ocurre es que cada tirada es independiente de las anteriores.
--¿Y en la bolsa?
--En la bolsa, uno puede pensar que cada vez que un inversor decide una operación lo hace por razones que son independientes de las que lo llevaron a la operación anterior. Esto por supuesto es cierto dentro de cientos limites, no vale cuando hay pánico, o corridas.
--Pero en la bolsa hay una tendencia general.
--Sí. Hay una tendencia general, pero dentro de esa tendencia general, cada compra y venta responde a decisiones del momento, entonces, en cada uno de los casos, tenemos una sucesión de eventos: compro, vendo, compro, compro, y así que pueden ser considerados aleatorios e independientes.
--Lo cual la hace impredecible.
--Bueno, ahí está la cosa, el punto central. Piense en la moneda. Si bien un resultado de tirarla al aire una o dos veces es totalmente impredecible cuando uno la tira al aire una o dos veces. Cuando uno piensa en cien o mil tiradas, es extremadamente predecible. Cuando uno la tira cien veces el números de caras va a estar entre 45 y 55 con probabilidad 99%.
--Entonces, se podría predecir el comportamiento de la bolsa.
--Los que se ocupan específicamente de eso dicen que sí. Ultimamente se esta usando un modelo llamado del "black scholl", que usa el lanzamiento de la moneda como modelo de base. Lo curioso es que todo el mundo que juega a la bolsa usa este modelo, y entonces la bolsa se comporta como lo predice este modelo. Pero dejemos la bolsa porque yo no me ocupo específicamente de eso, aunque le comento que lo que se ocupan de eso ganan bastante plata.
--¿Jugando?
--Mmmm... No sé si jugando, o haciendo modelos para las compañías que sí juegan.

Sistemas de partículas.

--¿Y de qué se ocupa específicamente?
--Soy especialista en lo que se llama "sistemas de partículas".
--Suena a física...
--Sí. Pero es matemáticas, aunque si quiere, empiezo con un ejemplo relacionado con la física, el ejemplo de la hidrodinámica. Tengo un dique que mantiene el agua embalsada. Se rompe el dique y se produce una onda perfectamente ordenada.
--Y catastrófica.
--Sí, pero ahora piense lo siguiente. Cada una de las moléculas sólo interactúa con las moléculas que la rodean, tiene un comportamiento, digamos, local, no "sabe" por así decirlo que tiene que formar una ola con una forma bien definida. Su comportamiento es puramente local y aleatorio. ¿Cómo puede ser que a partir de la acción individual, local y aleatoria de cada una de las moléculas, salga siempre una onda bien definida? Bueno, la teoría de sistemas de partículas estudia modelos matemáticos que tratan de deducir, a partir de reglas locales, que envuelven dos o tres moléculas, que son impredecibles, con comportamientos globales, que son predecibles y por lo tanto no aleatorios. Esto es lo que en probabilidad se llama ley de los grandes números, en otras palabras, cuando uno suma una serie de fenómenos aleatorios e independientes obtiene un resultado determinístico, como el que lo conté antes con el lanzamiento de la moneda.

El modelo del votante.

--Y curiosamente., algunos de esos modelos son utilizados en por ejemplo, sociología o marketing... Por ejemplo, el modelo del votante.
--A ver.
--Este es un modelo muy simple. Uno puede imaginar que tiene una ciudad donde cada individuo es un votante, que para simplificar vamos a decir que tiene cuatro vecinos y aparte, y que en promedio, una vez por día, o por mes, o por año, el votante elige al azar a uno de sus cuatro vecinos y adhiere a la opinión de su vecino, independientemente de la suya precedente. Se puede demostrar que cualquiera que sea la distribución inicial de opiniones, a medida que el tiempo va avanzando, habrá unanimidad: una de las opiniones en juego terminará por imponerse a todo el mundo. Y curiosamente si el numero de vecinos es seis en vez de cuatro, no se avanza necesariamente hacia la unanimidad, sino a la coexistencia de opiniones en proporciones iguales a aquellas iniciales.
--Solo que en la realidad, quien adhiera a la opinión de un vecino, no lo hace al azar.
--Bueno, es evidente que ese modelo no representa el comportamiento real de los votantes de una sociedad, pero da indicios. Y no es descartable que se pueda introducir variables extra de tal manera que esto represente mejor la realidad. Una de las cosas que habría que agregar es lo que se llama "campo medio", porque un votante, o un individuo o un lector no solo cambia mirando la opinión de su vecino, sino mirando la sociedad como un todo, a través de los medios de comunicación, etc...
--No me extrañaría que ya lo esté haciendo algunas consultoras.
--No.

Incendios.

--También hay un modelo que refleja el comportamiento de los incendios. Imagínese un bosque que tiene cien árboles por hectárea, distribuidos aleatoriamente. Si el fuego en este bosque empieza en algún lado se va a propagar. Sin embargo, si en lugar de tener cien árboles por hectárea tengo noventa y el fuego empieza en algún lado, va a quedar confinado en una región y el bosque se va a salvar. Lo curioso es que hay un valor exacto, que es 95 por hectárea, de tal modo que si hay 94, fuego confinado, si hay 96 por hectárea, el bosque se quema. Este es fenómeno es muy estudiado en física y también en probabilidades y se llama transición de fase. Un pequeño cambio cuantitativo del parámetro densidad produce un brutal cambio cualitativo del comportamiento global.
--Bueno, es como las transiciones de fase en el agua: menos de cien, líquida, más de cien, vapor.
--Un fenómeno relacionado a este es el fenómeno de las avalanchas. Un grano de arena mas, en una pila de arena, produce no la caída de dos o tres granito, sino tal vez la caída de miles de millones de granos de arena de la pila. La diferencia entre la pila de arena y el incendio es que la situación critica se organiza sola, se autoorganiza,
--¿Por qué?
--Porque se van poniendo los granitos de tal manera que finalmente se derrumba todo,. Bueno, es el mismo fenómeno que el castillo de cartas, este fenómeno que ha muy estudiado en física es uno de los grandes desafíos para los probabilistas. Y se llama "Pilas de arena". El de la percolación...

Petróleo

--¿Qué significa percolación?
--Percolación es cuando sale el petróleo a través de la piedra, y se empezó a estudiar por eso. Los ingenieros querían saber si se iba a poder extraer petróleo a través de piedra porosa. Entonces uno puede pensar que la piedra esta llena de burbujas de aire distribuidas aleatoriamente, como los árboles del bosque y que el petróleo sale si encuentra un "camino de burbujas". Y lo que ocurre es que si la densidad de burbujas es mayor que un cierto valor crítico el petróleo pasa, si no, no pasa, lo mismo que el fuego en el bosque.
--Bueno que el petróleo este relacionado con el fuego no es demasiado sorprendente
--No, pero hay que admitir que es una forma no usual de relación.

Embotellamientos.

--Pero en realidad lo que yo mas trabajé en problemas de embotellamientos. Y es así. Yo vengo por una autopista a 80 km por hora y veo pocos autos a mi alrededor. De repente el auto de adelante frena, yo freno, y en un segundo pasé a veinte kilómetros por hora y estoy rodeado de autos. Y entonces en la autopista hay dos regiones claramente separadas, una con muchos autos a poca velocidad, y otra de pocos autos a mucha velocidad. Y lo interesante es que la frontera entre esas dos regiones se está moviendo.
--Pero no a la misma velocidad que los autos.
--No, claro que no. El instante en que yo puse el pie en el freno, fue cuando esa frontera pasó por mi. Entonces yo lo que hice fue estudiar un modelo matemático que captura este comportamiento y que permite predecir, o estimar el comportamiento del tránsito. Yo no lo hice especialmente para aplicar, pero sé que utilizando este tipo de modelos se organiza el tránsito en algunas ciudades de Alemania.
--Supongo que este tipo de modelos se puede simular muy bien en una computadora.
--Sí, y complicándolos a voluntad, se pueden obtener modelos muy precisos del comportamiento del tránsito y por lo tanto se pueden simular alternativas. Si construyo un puente acá o allá, o si cierro una calle. Lo meto en la computadora y veo qué pasa. Es interesante que este modelo haya aparecido en física en física en la década del treinta como modelo de transporte de electrones. Yo lo que probé es una propiedad central que es la que permite estudiar y modelar el comportamiento de esa frontera.

Modelos de crecimiento.

--Hay modelos de partículas que son interesantes para los biólogos.
--Supongo que para la propagación de una infección, o algo así.
--Sí. Imagínese que cada célula tiene cuatro vecinos, y que inicialmente una célula esta infectada. En el instante uno, una de las cuatro vecinas de la célula infectada se infecta y ahora hay ya seis vecinos que se pueden infectar. En el instante dos, uno de esos seis, elegido al azar, en el instante tres, uno de los vecinos de los infectados elegido al azar se infecta, y así vamos... Cuando el numero de infectados es grande, diez millones, digamos uno puede ver la forma del área infectada, que es a ojo desnudo un círculo... en realidad no es un circulo exactamente, está un poquito achatado..... Esto es lo que se llama un "teorema forma" en probabilidad.... Este modelo probablemente describa la propagación de un cáncer, aunque no me hago responsable de las aplicaciones, porque yo me ocupo de probar los teoremas, de los cuales el uso inmediato no siempre es evidente, como con todas las cosas de matemáticas.
--Este se debe llamar "modelo de crecimiento". Me di cuenta por el epígrafe.
--Qué sagaz, ¿eh? Hay una variante del modelo de crecimiento que es el modelo de contacto: cada uno de los vecinos de los infectados tiene una probabilidad p de infectarse y el infectado puede curarse, también con una probablidad q. Aquí la infección, se mueve, avanza como un frente, dependiendo del valor de p. Y si p es mayor que un cierto valor crítico, la infección puede sobrevivir, pero si p es menor que ese valor, crítico, la infección no prosperará, seguramente. Aquí aparece de nuevo la transición de fase.
--Eso es de sentido común.
--Eso es de sentido común. Pero los matemáticos nos ocupamos de probar que ese sentido común tiene un punto crítico, o sea que hasta cierto punto pasa una cosa y después de ese cierto punto pasa la otra. Y eso ya no es de sentido común. Fíjese que este modelo describe la propagación de una epidemia, o de una población, uno puede pensar que la infección son individuos que se reproducen. Ahora, cuando uno dice que la infección crece, o que la población crecerá, se está imaginando que hay un campo, medio, entorno infinito donde eso ocurre, pero bien sabemos que los recursos son finitos.
--¿Y entonces?

Mejillones y casinos

--Y entonces, en realidad cuando uno observa, por ejemplo, una población de mejillones en una piedra, que podría ser modelado con el proceso de contacto (y que lo fue)... Fíjese que en realidad hay un único estado ultimo, que es la piedra vacía: no hay ningún mejillón, y la cosa queda allí. Pero lo que estamos observando no es el estado final, o estacionario (que sería la piedra vacía), sino un estado casi estacionario que es una especie de compromiso entre el deseo de un proceso supercrítico (es decir, por encima del valor crítico) que tiende a crecer y el número de metros cuadrados de la piedra que lo puede resistir. Una fluctuación de las condiciones atmosféricas puede reducir ala población a cero que es un estado absorbente, el sentido que allí se queda, no puede evolucionar a ningún otro estado. El estudio de este tipo de fenómenos que se llama medidas casi estacionarias, les interesa a los biólogos.
--¿Y es fatal que toda la población se muera?
--Una de las cosas interesantes es el estudio del tiempo (aleatorio) que va a transcurrir hasta la catástrofe, cuando todo el mundo se muere. Los matemáticos probaron que este tiempo tiene la distribución mas aleatoria posible, que es la exponencial. En palabras se puede caracterizar la distribución exponencial diciendo que no envejece. O sea, un individuo que tiene una edad exponencial no envejece, en el sentido de que en cualquier instante de su vida tiene la misma probabilidad de morirse. Eso es lo que pasa con las poblaciones estas que son supercríticas en una región finita o limitada.
--¿Y por qué fatalmente va a desaparecer?.
--Fatalmente en el sentido matemático.
--Se entiende.
--Aunque esté por encima del valor crítico que tiende a aumentarla.
--Sí. Bueno. Como es supercrítica, el parámetro le dice que tiene que sobrevivir, pero la superficie le exige que no crezca más que tanto, y entonces fluctúa. Pero no puede fluctuar siempre, porque alguna vez va a fluctuar hasta cero, y ahí se queda. Es la misma razón por la cual cuando uno va al casino uno sale. Uno gana, pierde, gana, es decir, va fluctuando, pero cuando se queda sin plata, tiene que salir. En el caso supercrítico, sería así: uno va al casino, y tiene una probabilidad de tres cuartos de ganar, pero por alguna razón, la fortuna no puede pasar de dos millones (es decir, la superficie de la piedra no da para más). Entonces, si uno juega un tiempo suficientemente largo, va a perder todo, porque uno se va mantener siempre cerca de los dos millones (ya que tiene más probabilidades de ganar que de perder), pero fluctuando. Y alguna vez, en una fluctuación de dos millones, llega a cero, y chau, se tiene que ir porque no puede seguir apostando.

El paseo del borracho:

--Hay un modelo muy famoso que tiene que ver con el movimiento browniano y los movimientos al azar de un borracho, o para ser políticamente correcto: una persona con un índice de alcoholemia alto.
--Ah, sí. Uno tiene que pensar en un borracho que está en una ciudad que tiene una sola calle, y cada vez que llega a una esquina, avanza o retrocede con la misma probabilidad. ¿Sale o no sale de la ciudad?
--Ah, ésa es una pregunta ideal para Final de Juego. ¿Qué piensan nuestro lectores? ¿Sale o no sale? La intuición dice que, como avanza y retrocede con la misma probabilidad, en promedio se queda cerca del lugar donde estaba.
--Pero no es así. El borracho tarde o temprano va a salir de cualquier tipo de ciudad. Sólo que si la ciudad solo tiene diez cuadras, va a tener que recorrer cien.
--Y sale por la misma razón que uno sale del casino.
--Efectivamente, por la misma razón, solo que aquí las fluctuaciones son igualmente probables para adelante o para atrás. Si usted me creyó que uno salía del casino...
--¿Y el movimiento browniano?
--El movimiento browniano es el movimiento de una molécula en un líquido, y creo que también de una mota de polvo en el aire. Es un problema del siglo pasado: se observó que una molécula en un líquido tenía un movimiento errático que parecía realizar pequeños saltitos. La interpretación física es que estos saltitos se producían por el golpeteo de las moléculas del líquido. Y bueno, el paseo del borracho y el movimiento browniano es lo mismo, uno se obtiene del otro. El browniano se obtiene del borracho, si uno acelera el tiempo y comprime el espacio. Entonces, cada choque de una de estas moléculas corresponde a una cuadra del borracho después de acelerar el tiempo y comprimir el espacio.
--Ahora, dígame una cosa. ¿Por qué todo esto se llama teoría de partículas?
--Porque cada una de estos modelos se puede imaginar como un conjunto de partículas que saltan de una posición a otra con una cierta posibilidad. En el caso del incendio, el salto del fuego de un árbol a otro, en el caso de los embotellamientos, el salto de un auto de una posición a otra: fíjese que no interesa la trayectoria, sino si el auto "salta" o no.

El azar.

--Hablemos un poco del azar.
--Bueno, usted pregúnteme y yo le contesto al azar. Al fin y al cabo, soy un matemático probabilista.
--¿Existe el azar, o es solo desconocimiento, o una manera de tratar las cosas?
--Hay estudios sobre el lanzamiento de una moneda que por supuesto muestran que es determinístico, que si uno controla las variables y sabe todo acerca del movimiento de la moneda, va a poder predecir exactamente el resultado. Pero la menor perturbación de cualquiera de esas variables cambia ese resultado. Y es la imposibilidad del control de las variable lo que llamamos azar...
--Entonces, el azar es desconocimiento...
--En realidad no es una pregunta que formulen los probabilistas. Nosotros nos ocupamos del azar sin preguntarnos sobre su naturaleza última, aunque creo que una cierta intuición sobre el azar es imprescindible para la formulación de resultados matemáticos.

Azar y sentido común

--Las leyes del azar son contrarias al sentido común.
--Yo diría que en general no. Puede ser que sean contrarias a una lectura ingenua de los fenómenos. Por ejemplo que el borracho va a salir de la ciudad. Como el paseante avanza y retrocede con la misma probabilidad, uno tendería pensar que va a quedarse en el mismo lugar. Pero los probabilistas aprendimos que cualquier suceso que tiene una probabilidad positiva por pequeña que sea va a ocurrir tarde o temprano, como por ejemplo que el borracho elija diez veces ir para a adelante. Y ese hecho forma parte de nuestro sentido común.
--Sin embargo, hay una probabilidad, por pequeña que sea de que todas las moléculas de aire de esta habitación se junten en un rincón, o de que una vaso de agua se caliente sólo en vez de enfriarse... violando el sacrosanto Segundo Principio de la termodinámica y entonces, tarde o temprano va a ocurrir y tarde o temprano veremos a todas las moléculas de aire concentrarse en un rincón de la habitación.
--Desde el punto de vista de los probabilistas sí, pero no podemos garantizar que va a vivir suficiente para verlo. Por ejemplo para que el borracho haga cien pasos para adelante seguidos, hay que esperar dos a la cien, que es un billón de billones de billones de pasos, y para que se junten la moléculas de aire debe ser trillones de trillones de trillones de veces (en realidad muchísimo más, pero quedaría mal) la edad y la duración posible del universo. Podemos vivir tranquilos.