Tengo un problema para plantearle. Verá que es muy sencillo de comprender. Se lo propongo porque -creo- atenta contra la intuición. Veremos -al final- si usted está de acuerdo conmigo.

Arriba de una mesa hay una bolsa que contiene 100 bolillas iguales en forma, peso y tamaño. La única diferencia es que 50 de ellas son blancas (B) y las otras 50 son negras (N).

Vamos a iniciar un proceso que tiene estas reglas. Usted, sin mirar, meta la mano en la bolsa y extraiga 2 bolillas cualesquiera. Apóyelas arriba de la mesa y proceda así:

a) Si las dos que sacó son de distinto color, reponga la bolita blanca y deje la negra arriba de la mesa.

b) Si las dos bolillas que sacó son del mismo color (no importa que sean las dos blancas o las dos negras), ponga en la bolsa una bolilla negra * 

c) Al llegar acá, repita el proceso anterior hasta que se agoten las bolitas de la bolsa.

Como usted advierte, en cada paso, el número de bolitas que quedan en la bolsa va disminuyendo en uno. Al principio había 100 (50 de cada color), pero después del primer paso, quedaron 99. ¿Por qué? Es que si en este primer paso usted sacó dos del mismo color (justo en ese momento hay 98 adentro de la bolsa) usted pone una negra y ahora quedan 99. Y si las que había sacado eran de distinto color (y en ese instante quedan 98), usted repone la blanca, y hay 99 otra vez. ¿Me siguió? Cada vez que usted mete la mano en la bolsa, saca dos pero repone una, por lo que en la bolsa, la cantidad de bolitas va reduciéndose paulatinamente, una por vez.

Si seguimos iterando este proceso, llegará un momento -justo después del paso 99- en el que quedará una sola bolita. El resto de las bolitas quedaron afuera de la bolsa, arriba de la mesa.

Ahora sí, pregunta:

Cuando en la bolsa quede una sola bolita, ¿de qué color es: blanca o negra?¿Se puede contestar esta pregunta?

El problema termina acá. En resumen:

Hay 100 bolitas en total, mitad blancas, mitad negras. Saca dos (sin mirar), y repone una. El color de la que repone, depende del color de las que sacó en ese paso. Si son de diferente color, repone la blanca. Si son del mismo color, pone una negra. Y listo.

Le cuento lo que me pasó a mí. Cuando escuché el problema por primera vez (varias décadas atrás), me pareció que no era posible dar una respuesta que fuera siempre cierta. Pensé: ¡son demasiadas posibilidades para considerar! Sin embargo, a medida que fue pasando el tiempo, cambié de idea. Eso es lo que le pido: ¡no se rinda! ¡No se robe la oportunidad de pensar! Créame que valdrá la pena. La matemática vendrá en su rescate, aunque -habitualmente- uno no piensa que la matemática se pueda ‘vestir’ con este tipo de ropa. Es decir, a priori, no pareciera que pensar en este tipo de problemas es hacer matemática. Ahora sí, le toca a usted.

Respuesta.

Voy a elegir un camino para llegar a la solución y después analizamos juntos las conclusiones. En el momento de empezar el proceso, hay 100 bolillas, 50 de cada color. Lo que me importa inicialmente es hacer hincapié en que 50 es un número par. Fíjese lo que sucede con la paridad de las blancas y negras que van quedando en la bolsa después de cada paso. Acompáñeme por acá. Empecemos con el primer paso

a) Si cuando metió la mano en la bolsa eligió dos de distinto color, tuvo que reponer la blanca. Por lo tanto, en la bolsa quedaron 50 blancas y 49 negras. Sigue habiendo un número par de blancas pero ahora hay un número impar de negras: 49.

b) Si al meter la mano en la bolsa eligió dos blancas, repuso una negra. Ahora quedan 51 negras y 48 blancas. Una vez más, hay un número par de blancas otra vez, mientras que las negras (51) es un número impar.

c) La última posibilidad es que usted hubiera elegido dos negras. En ese caso, repone una de ellas. Quedan (otra vez) 50 blancas (un número par) y 49 negras.

¿Por qué escribí esto? Lo hice para que nos convenzamos juntos que la cantidad de bolillas blancas o bien sigue siendo 50 o pasa a ser 48. ¡Nunca puede ser 49! Es decir, si bien la cantidad de bolillas en la bolsa disminuyó en uno, la cantidad de blancas sigue siendo par.

La/lo invito a que haga/hagamos un paso más. De lo que estamos seguros es que en la bolsa o bien sigue habiendo 50 blancas o si no, 48. Otro paso: si usted saca dos de diferente color, repone la blanca. Por lo tanto, seguirá habiendo la misma cantidad que había: 50 o 48, pero seguro que no hay 49. Si sacó dos blancas, pone una negra. Por lo tanto, el número de blancas o no se altera, o baja en dos. Si había 50, queda en 48. Si había 48, pasó a 46. Y por último, si usted había sacado dos negras, el número de bolillas blancas no se altera.Moraleja: las blancas pudieron pasar de 50 a 48, o de 48 a 46, pero nunca hubo ni 49 ni 47. Es decir, independientemente de lo que suceda con las bolillas negras, las blancas o bien no modifican el número o disminuyen de a dos. Esto es lo mismo que había sucedido en el primero paso.

A esta altura, una pausa. ¿Hace falta que siga o usted ya comprendió lo que va sucediendo? En cada paso, la paridad de las bolillas blancas permanece estable. ¡En la bolsa, pase lo que pase, siempre hay un número par de bolillas blancas! En cada paso, la bolsa se queda con una bolita menos, pero el número de blancas o se queda en el número que estaba o disminuye en dos, por lo que conserva la paridad que tenía.

Yo creo que usted está en condiciones -ahora- en responder la pregunta original. ¿De qué color podrá ser la última bolilla cuando hayamos dado 99 pasos de este proceso? En la bolsa quedará una sola bolita, o sea un número impar de bolitas. ¿Conclusión?

Esta última bolita… ¡tiene que ser negra! ¿Por qué? Es que como uno es un número impar, y las blancas son siempre pares, la que queda está forzada a ser de color negro. ¡Y se terminó!

Lo que es increíble, es que la potencia de este razonamiento, implica que uno no necesita estudiar todas las posibles formas de ir extrayendo bolitas. No importa cuál haya sido el camino, uno puede concluir de qué color es la última bolita: ¡negra! ¿Por qué? Porque el número de blancas es siempre un número par.

Naturalmente, usted estará pensando: “¿en qué momento de mi vida yo voy a tener que enfrentarme con este problema?” La respuesta es que muy posiblemente nunca. Pero lo que sí tendrá agregado a su ‘caja de herramientas’ es que estudiar la paridad es un método que provee la matemática para resolver problemas. En principio, uno no sabe en qué momento ni en qué circunstancia la va a necesitar, pero es bueno saber que estas herramientas existen y cómo se aplican. Esto surge de la capacidad de pensar y sacar una conclusión sin tener que apelar a la fuerza bruta e intentar todas las posibles combinaciones.

No lo escribí pero -creo- que se nota que yo empecé con 100 bolitas, 50 de cada color, pero el mismo argumento sirve si hubiera empezado con un millón o con mil millones. Lo único que tiene que pasar es que la cantidad original de bolillas blancas sea par y que el proceso garantice que en cada paso, la paridad de las blancas no se modifique. Una verdadera maravilla.

 * Si le hiciere falta una bolilla negra y todavía no hay ninguna arriba de la mesa, se la proveo yo. O sea, haga de cuenta que hay más bolitas negras si las llegara a necesitar.