En el año 2019, en época pre-pandemia, mientras caminaba por la Feria del Libro con Teresa Krick y Santiago Laplagne, dos matemáticos muy prestigiosos de Exactas (UBA) les pedí una opinión sobre un problema que quería plantear en Página 12. Les pareció bien y por eso, acá voy.

Quiero proponerle una suerte de juego. Elijamos --juntos-- 11 números cualesquiera (enteros positivos). Yo elijo los míos, usted haga lo mismo por su lado.

2, 5, 7, 14, 120, 30, 230, 27, 200, 15 y 100

Ordénelos de menor a mayor

2, 5, 7, 14, 15, 27, 30, 100, 120, 200 y 230

Ahora, elija el número que está en el medio de la lista. Es decir, elija el número que deja a la izquierda y a la derecha la mitad de los números que figuran en la lista.

En mi caso, el número que divide la lista en dos es… 27. A la izquierda, menores que 27 quedan cinco números: 2, 5, 7, 14 y 15, y a la derecha mayores que 27 quedan otros cinco números: 30, 100, 120, 200 y 230.

Este número particular, el número que está en el medio (en este caso es el 27), tiene un nombre: se llama LA MEDIANA.

En general, si a usted le dan un conjunto de números enteros, ordénelos en forma creciente y fíjese qué número es el que separa la lista en dos partes iguales (de manera tal que quede la mitad de los números de cada lado, menores que la mediana y mayores que la mediana).

Ya sé: usted estará pensando que para que esto suceda, tiene que haber una cantidad impar de números. Si no, no quedará claro cuál es la mediana. Pero lo resolvemos así: si hay una cantidad par de números, elija los dos que quedaron en el medio, y calcule el promedio de los dos.

Por ejemplo, si la lista está compuesta por:

2, 5, 7, 14, 15, 27, 30, 100, 120 y 230

ahora, quedan dos números en el medio: el 15 y el 27. El promedio de los dos es (15+27)/2 = 21. En este caso entonces, la mediana es el número 21.

Me imagino que usted debe estar pensando ahora: ¿y para qué servirá la ‘mediana’? ¿Qué aporta? Si sigue leyendo, verá que lo que parece nada más que un ‘juego’, termina siendo un número verdaderamente importante.

Suponga que en una oficina, trabajan 100 personas y todas cobran el mismo salario: 100.000 pesos. Si yo le preguntara: ¿cuál es el promedio de los salarios que perciben estas personas?, su respuesta sería –supongo- casi inmediata: ¡100 mil pesos!, que es la respuesta correcta.

Este es un caso muy particular: no hizo falta hacer ningún cálculo, pero en general, cuando uno tiene que determinar el promedio de un grupo de números, lo que hace es sumarlos todos y al resultado, dividirlo por la cantidad de sumandos.

El anterior fue un caso muy fácil, pero si yo le dijera que calcule el promedio entre estos diez números:

2, 5, 7, 14, 120, 30, 27, 200, 15 y 100,

usted tendrá que hacer un cálculo. Al sumar todos los números obtiene 520 y como son 10 números, el promedio es… 52.

Ahora bien: ¿por qué habría de relatar esta historia? Volvamos al ejemplo de las 100 personas que trabajan en la oficina de manera tal que todas cobran 100 mil pesos por mes. Supongamos por un instante que uno de los trabajadores sale de la oficina, y entra Bill Gates. Sigue habiendo 100 personas, todos siguen cobrando 100 mil pesos, con la excepción de uno: el nuevo integrante del grupo. ¿Cuánto dará el promedio ahora?

Hay 99 personas que cobran 100 mil, por lo que la suma de sus salarios resulta ser 9.900.000. Pero me/nos falta Bill Gates. No se estimar cuánto recibe Bill Gates por mes, pero a los efectos de este cálculo, supongamos que gana 1.000 millones de pesos mensuales. Cuando sumemos 9.900.000 más esos 1.000 millones, el resultado será: 1.009.900.000, o sea, mil nueve millones novecientos mil. ¿Cómo calculamos el promedio? Una vez más, dividiendo este número por 100: (1.009.900.000)/100 = 10.099.000.

Como usted advierte, el promedio ha sufrido un brutal incremento: ahora, el salario promedio de las personas que están dentro de la oficina es de 10.099.000, mientras que sin Bill Gates, ese salario promedio era de 100 mil pesos.

Creo que usted estará de acuerdo conmigo, que este número no da una verdadera idea de lo que está sucediendo en la oficina. Uno se llevaría una opinión equivocada sobre lo que allí sucede. La presencia de una sola persona que gane una cantidad tan diferente del resto, fuerza a pensar que si bien los números son correctos, el promedio de los ingresos no es un ‘buen’ indicador de lo que uno busca. Deja una impresión … ‘equivocada’.

¿Habrá entonces alguna otra forma de evitar esta distorsión? No vamos a poder cambiar la definición de lo que significa el promedio, pero está claro que no sirve aplicarlo en este tipo de casos porque induce a sacar una conclusión equivocada.

Al llegar a este punto, me gustaría proponerle que pensemos (en lugar del promedio) en la mediana. Veamos cómo se ve afectada la mediana con el ingreso de Bill Gates en la oficina.

Primero: calculemos la mediana sin Bill Gates, en donde todos ganan 100 mil pesos por mes. Tal como sucedía en el caso del promedio –y le pido que usted haga el cálculo por las suyas- verá que la mediana también resulta ser: 100 mil pesos.

Segundo: incluyamos a Bill Gates y excluyamos a una de las personas que había en la oficina. Ahora siguen siendo 100, pero 99 de ellos cobran 100 mil pesos mensuales y estamos suponiendo que los ingresos de Bill Gates son 1.000 millones de pesos por mes. Más arriba calculamos el promedio (que se vio fuertemente distorsionado). Ahora pasó a ser: ¡10.099.000 mensuales!

¿Quiere calcular la mediana? (Si pudiera, le pediría que no siga leyendo sin hacer la cuenta usted… ). Sigo yo: en este caso, la mediana… ¡seguirá siendo 100 mil pesos! Como hay 100 números en total, hay dos que están en el medio, en los lugares 50 y 51. Pero los dos son 100.000. Cuando calculo el promedio de estos dos, obtengo… 100.000. Por lo tanto, ¡la mediana es 100.000!

Es decir, la aparición de Bill Gates, distorsionó el promedio y ofrece una muy mala idea de lo que uno querría estimar (cuánto cobran en promedio las personas que trabajan en la oficina). Técnicamente, es irreprochable: el promedio con Bill Gates se eleva a más de 10 millones de pesos mensuales, pero es la mediana la que evita que la aparición de un solo integrante que percibe un número TAN diferente de todos los otros, decía… este integrante NO ALTERA la percepción que querríamos tener.

Más aún: si en lugar de haber ingresado Bill Gates, entrara también Tim Cook, el CEO de Apple (por poner otro ejemplo), aunque no saliera ninguno de las 100 personas que había en la oficina, ahora habría 101. Bill Gates y Tim Cook modificarán el promedio de una manera brutal, y lo correrían de lo que uno quisiera que de: un número cercano a los 100 mil pesos que cobra la abrumadora mayoría de los trabajadores. El promedio no ofrece ese número; la mediana, sí. La mediana sigue siendo 100 mil (como uno querría).

Moraleja: cuando usted lea en un diario o escuche por televisión o por radio cuando alguien quiera evaluar el promedio de los salarios en alguna región o ciudad o barrio (o lo que fuere), piense que este particular número (el promedio), ¡no es el único que debería usarse! Uno debería llamar al medio de comunicación que ofreció ese dato y pedirles que le ofrezcan un segundo número: ¡la mediana! Los mismos datos que les permitieron obtener el promedio sirven para calcular la mediana. Con ambos números, las conclusiones que uno saque serán decididamente más cercanas a la realidad.