Es muy posible que usted haya jugado alguna vez a un juego de cartas muy popular: el truco. Si no jugó, no se preocupe: ¿habrá jugado alguna vez a la Escoba de Quince?

En cualquiera de los dos casos, uno recibe tres cartas de un mazo que contiene 40. La pregunta entonces es: ¿cuántas manos posibles hay?

No sé si usted se hizo alguna vez esa pregunta, pero sería interesante averiguar si es un número más grande que la cantidad de butacas que tiene un cine o una cancha de fútbol. Es decir, lo que me parece que la da un toque diferente es que para poder evaluar si es un número grande o no, es bueno poder compararlo con algo que nos sea más familiar. Veamos.

En un mazo de cartas españolas para jugar al truco (o a la escoba) hay 40 naipes. ¿Cuántas posibilidades hay para la primera carta? Obviamente, 40. Una vez que uno tiene esta carta particular, hay 39 que pueden llegarle como segunda carta. Luego, hay (40 x 39) = 1.560 pares posibles. ¿Por qué? ¿No quiere pensar usted?

Me explico. Uno recibe la primera carta. Digamos que es un as de basto ¿Cuántas posibles cartas puede recibir como segunda carta? Claramente, quedan 39. O sea, hay 39 pares de cartas que contienen al as de basto.

Pero antes de avanzar, podría haber sido que la primera carta fuera el dos de bastos. En este caso, para la segunda carta vuelven a quedar 39 cartas posibles, o lo que es lo mismo que decir, que hay 39 pares de cartas que contienen al dos de bastos.

Como usted se da cuenta, puedo repetir este proceso suponiendo que la primera carta fue cualquiera de las 40 posibles, y por el mismo argumento, hay 39 pares posibles que contengan a esta carta que me llegó primero. Por esa razón, hay (40 x 39) = 1.560 posibles pares de cartas.

Todavía no terminé: falta todavía recibir una carta más. En la mano yo tengo un par (de los 1.560 posibles) ¿Cuántas posibilidades quedan para la tercera carta? Como yo ya tengo dos de ellas en mi mano, quedan 38 posibilidades para la tercera ¿Qué hacer ahora?

Como hay 1.560 pares, y para cada par hay 38 cartas posibles para completar la terna, lo que tengo que hacer es volver a multiplicar los 1.560 pares por 38; es decir

1.560 x 38 = 59.280

Puesto de otra forma, hay (40 x 39 x 38) = 59.280 ternas.

Sin embargo, hay un problema (que usted ya debe haber detectado). Una vez más, le pido que piense por qué este argumento no es correcto. Le anticipo lo que usted ya se imagina (creo): ¡estoy contando muchas veces la misma terna! ¿Por qué?

La cuenta que hice más arriba sería correcta, siempre y cuando importara el orden en el que recibí las cartas, pero si al recibir el primer par, por ejemplo, el as de basto primero y el tres de espada segundo, este par, lo podría haber obtenido recibiendo primero el tres de espada y después, el as de basto. O sea, estoy contando dos veces el mismo par. Y lo mismo sucede con todos los pares: los estoy contando dos veces.

En resumen, en lugar de 1.560 pares, hay 780 pares distintos.

Al llegar aquí, me la/lo imagino diciendo: ¡un momento! ¡Esa situación no solo se da con los pares sino también estoy contando la misma terna muchas veces! Si importara el orden en el que fuimos recibiendo las cartas, no habría problema: el número que encontramos sería el adecuado, pero como el orden es irrelevante, entonces SÍ tengo que descubrir cuántas veces estoy contando la misma terna. ¿Cómo hacer? ¿De cuántas formas puedo formar cada terna?

Contemos juntos. Suponga que usted recibió la terna ABC. Esta terna, es la misma que ACB, BAC, BCA, CAB y CBA. O sea, ¡estoy contando SEIS veces cada terna! Por lo tanto, en lugar de tener 59.280 ternas diferentes, tengo que dividir este número por seis para obtener el resultado correcto.

Ahora sí: 59.280/6 = 9.880.

Esta es la respuesta que estaba buscando. En total, hay 9.880 manos posibles para jugar al truco (o a la “escoba de quince”). De hecho, son más posibilidades que las butacas que hay en un cine o en un teatro, sea en Argentina, Uruguay o Chile. Pero también es cierto, que en cualquiera de las canchas donde se juega al fútbol, hay más asientos que 9.880.

No querría terminar acá sin plantearle un problema. Si en lugar de jugar al truco, uno quisiera jugar al chinchón, ¿qué pasaría? Para jugar al chinchón uno juega con 50 cartas (porque incluye los ocho, los nueve y también los dos comodines). Pero también es cierto que uno recibe siete cartas, y no tres ¿Cómo hacer para contar las manos posibles?

Mi idea sería que lo que hice acá arriba le permita hacer las cuentas a usted, naturalmente, adaptadas a las nuevas condiciones. Sería bueno que lo intentara usted, pero por las dudas, escribo yo acá la solución, de manera tal que si usted busca la respuesta, después pueda confrontar con la que escribo yo acá abajo. Naturalmente, todo esto tiene algún valor, si usted agrega algún camino a su cerebro que antes no tenía y uno nunca sabe cuándo lo puede necesitar.

Sigo ¿De cuántas formas se pueden recibir siete cartas? Como hice más arriba, uno tiene 50 posibilidades para la primera, 49 para la segunda, 48 para la tercera, 47 para la cuarta, 46 para la quinta, 45 para la sexta y 44 para la séptima. En consecuencia, hay

50 x 49 x 48 x 47 x 46 x 45 x 44 = 503.417.376.000

posibilidades. Pero tal como sucedió antes, ¡estamos contando muchas veces lo mismo! El problema se reduce entonces a encontrar cuántas veces aparece el mismo grupo de siete cartas. Como antes, el septeto ABCDEFG, es lo mismo que ABCDEGF . Fíjese que con la misma idea, hay (7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1) = 5.040 formas de recibir las siete cartas, por lo que tengo que dividir por 5.040 el número que escribí más arriba.

En resumen, como

503.417.376.000/5.040 = 99.884.400

manos posibles para jugar al chinchón. Ahora sí, uno descubre que ese número es más grande que dos veces la población de la Argentina. Son muchas manos.

Creo que con las ideas que figuran más arriba, y la ayuda de una calculadora/computadora, usted está en condiciones de calcular de cuántas formas posibles se pueden recibir un determinado número de cartas, elegidas de un mazo cuyo número varía también.[1]

 

[1] En términos ‘técnicos’, que es poco probable que a usted le agreguen nada, estos números se llaman números combinatorios, C(n,k) en donde n indica el número de cartas en el mazo (por ejemplo) y k el número de cartas que uno elige. La definición es: C(n,k) = (n!/[(n-k)!k!] , donde n! = n x (n-1) x (n-2) x … x 3 x 2 x 1 es el factorial del número n.