Hace muchos años, en una charla en el café de la planta baja de Exactas (UBA) Teresa Krick, quien hoy es la jefa del Departamento de Matemática, nos contó un problema que supuestamente apareció por primera vez en un libro de divulgación matemática escrito por uno de los actuales gurúes en matemática recreativa: Richard "Dick" Hess.

Curiosamente, Hess no se graduó como matemático sino que es doctor en Física por la Universidad de California, en Berkeley, lugar muy frecuentado por nuestra comunidad y de gran prestigio internacional. Hess dice que acumuló más de 25.000 (¡veinticinco mil!) problemas a lo largo de los años y es además especialista en Ingeniería Aeroespacial. 

El problema para pensar que quiero proponer acá lo he presentado en múltiples oportunidades y en distintas plataformas, pero como es uno entre esos miles de los que habla Hess, no voy a intentar atribuirle alguna característica especial que lo destaque de todo el resto, porque sería embarcarme en una tarea con muy baja probabilidad de éxito. En todo caso, lo que le propongo es que se entretenga un rato porque es de enunciado fácil, se entiende muy rápido y su respuesta, me parece, es anti-intuitiva. Más aún: creo que la propia pregunta parece inabordable. Pero, aquí voy de todas formas. Ojalá que lo disfrute.

Una persona dice: “Tengo dos hijos. Uno de ellos es un varón. Nació un sábado ¿Cuál es la probabilidad de que mis dos hijos sean varones?”

Antes de avanzar, para poder encarar el problema uno tiene que suponer condiciones ideales ¿A qué me refiero? Hay que suponer que la probabilidad de que nazca una nena o un nene es la misma, que la cantidad de bebés nacidas/os diariamente no dependa del día de la semana, ni del año….y toda otra variable que se me escape en este momento. Haga de cuenta que todo es absolutamente regular, sin alteraciones, sin modificaciones por país, por época del año, nada. Y por supuesto, no hay trampa como en ninguno de los problemas que yo presente en cualquier contexto.

Para refrescar la memoria, ¿cómo se calcula la probabilidad de que suceda un evento? Por ejemplo, ¿por qué usted dice que al tirar una moneda al aire la probabilidad de que salga cara es ½ (o que hay un 50 por ciento de posibilidades)? Lo dice porque mentalmente usted divide los casos favorables (uno solo, que la moneda salga cara) sobre los casos posibles (dos, porque puede salir o bien cara o bien ceca). De la misma forma que al tirar un dado, la probabilidad de que salga un número impar es ½ ¿Por qué? Porque los casos favorables son tres (que salga, un uno, un tres o un cinco) y los casos posibles son seis (que salga uno, dos, tres, cuatro, cinco o seis). Al dividir, queda 3/6 = ½.

Ahora le toca a usted calcular los casos favorables y posibles en el problema que escribí más arriba. Cuando lo logre, haga la división y tendrá el resultado. Mientras tanto, yo la/lo espero acá abajo.

Algunas ideas para encontrar la respuesta

A los efectos de hacer las cuentas más sencillas, voy a imaginar que el número de familias que existen en el mundo son 196 ¿Por qué 196? Esto es obviamente falso, pero el análisis posterior la/lo convencerá que es independiente de este número. Si quiere, cuando termine de leer mis argumentos, siga usted por su cuenta con cualquier número de familias que usted crea que existen en el mundo y verá que el número 196 solo tiene la particularidad que hace que los cálculos sean más sencillos. Ya verá por qué.

Como decía más arriba, si uno supone que todos los casos que se puedan dar son equiprobables (o sea, es igualmente probable de que nazca una nena o un nene, que la probabilidad no cambia con el día de la semana, etc, etc…. Si en el mundo hubiera 196 familias que tienen dos hijos nada más, la distribución tiene que ser la siguiente:

a) 49 familias tienen dos nenas. Voy a poner MM para indicar que son dos mujeres

b) De la misma forma, 49 familias tienen MV (note que escribo MV porque distingo que primero nació una mujercita y después, como segundo hijo, un varón).

c) En otras 49 familias, fue al revés: VM. O sea, primero el varón y después la nena.

d) Finalmente, tiene que haber 49 familias que hayan tenido VV (o sea, dos varones).

Por supuesto, si usted empezó con mil millones de familias (en lugar de 196), en lugar de 49 por cada caso, será una cuarta parte de mil millones, o sea, 250 millones por cada uno de las cuatro posibilidades. Es por eso que digo que el número original de familias que uno elija es irrelevante para hacer los cálculos. Sigo.

Como el señor dijo que uno de los hijos es varón, podemos eliminar 49 familias. ¿Cuáles? (¿Piensa usted por un instante?). Las 49 familias que tuvieron dos nenas (MM) quedan excluídas de los cálculos. Como en total empezamos con 196, al restar las 49 que tienen dos nenas, quedan 147 a considerar.

Ahora concentrémonos en las 49 familias que tuvieron VM (primero el varón). Como suponemos que todos los días tienen la misma probabilidad de que nazcan niños de cualquiera de los dos sexos, cómo pudo haber sido la distribución de las potenciales parejas si me interesa saber las combinaciones de días en los que nacieron:

Lunes-Lunes, Lunes-Martes, Lunes-Miércoles, Lunes-Jueves, …y así siguiendo. En algún momento llegará a Sábado-Lunes, Sábado-Martes, Sábado-Miércoles, …. (esto indica que el varón nació un Sábado y la nena un Miércoles)… Como hay siete días en cada semana, es por eso que hay 49 pares. De esta forma cubrimos todos los casos. De estos 49, ¿quiere pensar cuántos tuvieron un varón un día sábado? Respuesta: en siete. ¿Cuáles? Sábado-Lunes, Sábado-Martes, Sábado-Miércoles, Sábado-Jueves, Sábado-Viernes, Sábado-Sábado y Sábado-Domingo.

Ahora, sigo con las 49 familias que tuvieron primero a la nena y después al varón: MV. Una vez más, igual que en el caso anterior, con 49 abarcamos todas las posibilidades. Y una vez más hay siete casos que tuvieron un varón el sábado: Lunes-Sábado, Martes-Sábado, Miércoles-Sábado, Jueves-Sábado, Viernes-Sábado, Sábado-Sábado y Domingo-Sábado (el primer día del par es el día de la semana en la que nació una nena)

¿Y ahora? ¿Cómo terminar? Falta considerar las 49 familias que tuvieron VV. En este caso, si se detiene un instante, descubrirá que hay más de siete pares. Como los dos son varones, lo que tenemos que hacer es contar los pares que tienen algún sábado. Es decir: los que empiezan con un Sábado (como Sábado-Lunes, Sábado-Martes, Sábado-Miércoles, etc). En total son siete pares. Pero también tenemos que contar aquellos que terminan con un Sábado (como Lunes-Sábado, Martes-Sábado, … y así siguiendo). Estos son otros siete pares. Pero… (yo sé que usted está pensando esto) … decía, que estoy contando dos veces el par Sábado-Sábado. Por lo tanto, no son 14 en total, sino 13. En total entonces, hay 13 de estas combinaciones que cumplen con lo que queremos: que haya un varón que hubiera nacido un Sábado. Es otra forma de decir, que hemos encontrado los casos favorables. En total, son 13.

¿Y cuántos casos posibles hay? Es decir, ¿cuántos pares contienen al menos un varón? Para encontrarlos, tenemos que sumar: siete entre las primeras 49 familias. Otros siete casos entre las segundas 49, y finalmente trece entre las últimas 49.

Como 7 + 7 + 13 = 27. Por lo tanto, los casos posibles son 27.

Ahora, ¿cómo terminar? Lo que hay que hacer ahora para calcular la probabilidad que el otro hijo haya sido también un varón y que al menos ‘uno de los dos’ haya nacido un Sábado es dividir

13/27 = 0.48148148….

Ese es el número que estaba buscando.

No quiero finalizar esta nota sin proponerle que usted, si le parece, haga la cuenta suponiendo que en lugar de haber 196 familias (como hice yo al principio), elija el número de familias que quiera y compruebe que el resultado… ¡tiene que dar también 13/27! Vale la pena convencerse (si no lo hizo ya) para que todo este texto tenga algún sentido. ¿Es anti-intuitivo? Eso ya es una opinión. En esa parte podemos diferir. En lo fáctico, no … Es 13/27.