¿Por qué incluir un problema sobre sombreros en la contratapa de un diario? ¿Quién pasará de estas primeras líneas y seguirá leyendo? ¿Cuánto le interesa pensar? ¿Cuánto espacio mental tiene para entretener una situación cuya solución no es inmediata pero que va a servir para recorrer caminos que habitualmente no circulan en su mente, o para abrir otros que nunca fueron explorados? ¿Cuándo sabe uno que algún día, ese nexo que usted estableció en sus neuronas no le será de utilidad?

Y por otro lado, ¿por qué tiene que ser todo tan mercenario, de manera tal que uno hace algo porque es una suerte de inversión a futuro que le dará más dinero o poder? ¿O acaso uno escucha alguna canción de la Negra Sosa o de Charly o mira un amanecer o un cuadro de Goya o concurre a un espectáculo en donde se baila flamenco porque quiere lucrar en el futuro?

Por supuesto, leer el artículo que sigue, es muy posible que sea irrelevante en su vida actual y futura, y usted tiene -obviamente- todo el derecho de imaginarlo así, pero yo quisiera proponerle que no se robe el placer de tener un problema en la cabeza, cuya solución puede que no sea inmediata, pero la satisfacción de tolerar la frustración y ni hablar si se le ocurre alguna idea conducente, le mostrarán que habrá valido la pena. Con este espíritu, quiero escribir otro problema sobre sombreros. No sé cuántos van, pero desde que escribo en Página 12, sé que fueron muchos, y desde aquel encuentro en un bar de San Telmo, muy cerca de donde estaba la redacción del diario en aquel momento, en donde el entonces director del diario Ernesto Tiffenberg me ofreció que escribiera una contratapa por semana y yo lo miré entre azorado y sorprendido, hasta que le pregunté: “¿sobre qué querés que escriba?”. Me contestó: “sobre lo que quieras”.

Me quedé callado un instante y le dije: “Mirá que yo escribo la demostración del Teorema de Pitágoras”. Sin inmutarse, me replicó: “Y yo la publico”. Y acá estamos casi 17 años después. Creo que él tenía razón, o tienen, tanto él como Hugo (Soriani) y Nora (Veiras) inmunidad para publicar estos artículos sin que nadie los lleve o haya llevado presos. Al menos por ahora.

Acá voy. Suponga que en un bar, hay cinco hombres jugando al billar. Situemos la época en donde los hombres usaban sombreros (algunas mujeres también, pero el sombrero era típico en la época que yo nací, cuando empezaba la segunda parte del siglo XX). Decía, los cinco habían dejado sus sombreros colgados en un perchero cercano a la puerta de entrada. Al terminar la noche, como habían bebido un poco, los cinco se llevan el sombrero de otra persona. Cuando se comunican telefónicamente entre ellos les surge la pregunta: ¿de cuántas formas pudieron haberse llevado un sombrero equivocado? Cada uno da una respuesta diferente. Fíjese si usted puede distinguir la correcta (si es que existe alguna entre estas cinco):

A dice: creo que la respuesta es 50

B dice: creo que la respuesta es 42

C dice: creo que la respuesta es 45

D dice: No, creo que es 46

Aquí es donde interviene el quinto participante y sostiene: “No sé la respuesta, pero lo que sí sé, es que esas cuatro están equivocadas".

Usted, ¿qué puede aportar? Fíjese que no le estoy preguntando que diga de cuántas maneras se hubieran podido distribuir los sombreros de manera tal que todos tuvieran uno que no les pertenecía, sino que lo que le estoy preguntando, es si usted puede decidir por qué las cuatro respuestas que escribí más arriba, son todas falsas (50, 42, 45 o 46). La/lo espero abajo con algunas reflexiones. Eso sí: sería una pena que no le dedique un rato a disfrutar de pensarlo ¡Tiene que haber un argumento (no muy complicado) que le permita conducirla/o a la respuesta! ¡Y lo hay! Usted tiene la palabra.

Reflexiones

La quinta persona, la que afirmó que las cuatro respuestas son equivocadas, pudo haberlo inferido usando distintos métodos. Uno que se me ocurre es, hacer la cuenta y determinar cuál es el número correcto, y entonces comparar con las cuatro respuestas de sus amigos y ver que estaban todos equivocados. Esta aproximación, no sólo no tiene nada de malo, sino que -potencialmente- es la mejor manera de resolverlo. Más aún: yo trataría, si pudiera, de extenderlo o generalizarlo a cualquier número de sombreros. Eso permitiría encontrar una respuesta general que sirva para todos los casos posibles. Pero, lo que queda pendiente es encontrar alguna otra forma que no requiera de encontrar la respuesta correcta pero sin embargo, convencer a todos (y a usted y a mí) de que esos cuatro números están mal ¿Por qué? ¿Cómo hacer?

Mire lo que uno podría hacer. Supongamos que la persona A es el primero en elegir un sombrero del perchero ¿De cuántas formas puede equivocarse y no elegir el propio? (¿quiere pensar?) Claramente, de cuatro formas diferentes, llevándose cualquiera de los cuatro sombreros de sus compañeros de billar.

Ahora, présteme atención. Yo podría seguir con el cálculo, y estimar de cuánta formas los cuatro que quedan se pusieron un sombrero que no les pertenecía. Pero por un instante, no voy a hacer eso. Quiero que me acompañe con esta idea y verá que no es necesario contarlas y sin embargo, igual uno puede afirmar que las cuatro respuestas están equivocadas. Sin calcularlo, le voy a poner un nombre, digamos X.

¿Quién es X? X es el número de diferentes formas que las cuatro personas que quedaron se pudieron haber llevado un sombrero equivocado. Pero, ¿qué dice esto? Esto dice, que para cada una de las cuatro potenciales elecciones de A al elegir su sombrero, hay X formas de distribuir los cuatro restantes ¿Me sigue? A tiene cuatro maneras de no elegir su sombrero. Ahora, aunque no las calculemos, esos cuatro que quedaron, se pueden repartir entre los otros cuatro hombres de X maneras.

En consecuencia, como hay cuatro formas de que A elija un sombrero equivocado, el total de maneras que pudieron equivocarse los cinco, es: 4 x X

¿Por qué? Es que si A eligió el sombrero de B, entonces los cuatro restantes (A, C, D y E) se distribuyeron de X maneras. Si A eligió el sombrero de C, entonces los cuatro restantes (A, B, D y E) también se pudieron distribuir de X formas diferentes. Y lo mismo si A eligió el sombrero de D (hay X distribuciones de los sombreros posibles) y finalmente, lo mismo si A elige el sombrero de E. Por cada elección equivocada de A, hay X distribuciones de los otros cuatro. Como A puede elegir equivocadamente de cuatro formas, el resultado tiene que ser (4 x X), es decir, ¡un múltiplo de cuatro!

Ahora, mire las respuestas que escribí más arriba: 50, 42, 45 y 46 ¡Ninguno de estos números es múltiplo de 4! Por lo tanto, aunque no sepamos cuál es el número correcto , seguro que no es ninguno de esos. Moraleja: sin saber cuánto vale X, uno sabe que esos números son erróneos. Y en el camino, nos ahorramos esfuerzo y tiempo.

 

* Si en realidad le interesa saber de dónde sale el número 44, le propongo lo siguiente. Con cinco sombreros, hay en total 120=5! (factorial de 5) formas de distribuirlos, en donde algunos puede que tengan el sombrero que les corresponde (o no). Pero como busco las formas en que todos tengan sombreros equivocados, lo que voy a hacer es calcular los casos en donde los cinco tienen el sombrero correcto, después cuatro (¿se puede cuatro?), después tres, después dos, y después uno solo tenga el sombrero que llevó. Sumo todos estos números y lo resto de 120. Ese número será el que busco. Por supuesto, hay una única manera de que todos tengan el sombrero que llevaron al billar. Si piensa conmigo, verá que no puede existir una forma en la que una sola persona tenga el sombrero que le corresponde y los otros cuatro, no. Hay 10 formas en las que las cinco personas se pueden dividir en dos grupos, un subgrupo formado por tres que tienen sus sombreros y otro subgrupo formado por dos que no tienen su sombrero. Como hay una sola forma en la que dos personas cualesquiera puedan recibir sombreros equivocados, tiene que haber diez formas en las que cinco personas puedan recibir sombreros para que haya tres, y solamente tres, que reciban su propio sombrero. Hay diez formas en las que el grupo se puede subdividir en dos grupos, un subgrupo formado por dos que tienen sus propios sombreros y un subgrupo formado por tres que no tienen sus propios sombreros. Dado que hay dos formas distintas en las que cada uno de estos grupos de tres podría recibir el sombrero equivocado, debe haber 20 formas en las que cinco individuos pueden recibir sombreros para que haya dos, y solo dos, que reciban su propio sombrero. Hay cinco formas en las que el grupo se puede dividir en dos grupos, un subgrupo formado por una persona que tiene su propio sombrero y un subgrupo formado por cuatro que no tienen su propio sombrero. Dado que hay nueve formas distintas en las que cada uno de estos grupos de cuatro podría recibir el sombrero equivocado, debe haber 45 formas en las que cinco individuos pueden recibir sombreros para que haya uno, y solo uno, que reciba su propio sombrero. Entonces quedan 120 − 1 − 0 − 10 − 20 − 45 = 44 maneras en que ninguno de los cinco profesores recibiría su propio sombrero. ¡Y listo!