¿Qué son los logaritmos? ¿Para qué sirven? ¿En qué se aplican?

Quiero contar una breve historia. No estoy seguro de que haya sido exactamente así, pero es un recuerdo distorsionado de mi pasado.

Para fijar las ideas, digamos que tenía entre 7 y 8 años. Mi padre solía charlar conmigo sobre diferentes situaciones de la vida cotidiana. Trataba de interesarme en lo que sucedía a mi alrededor. Vivió (y mi madre también, claro) intentando que mi hermana y yo entendiéramos la importancia de respetar al otro, de ser generosos, solidarios. No sé si lo consiguió, pero ciertamente lo intentó.

Recuerdo que una vez trajo un librito pequeño, con muchas páginas. Cada página tenía muchos números. Muchos. Cada número figuraba en una pequeña tabla. Si la memoria no me traiciona, creo que en el lomo (del libro) decía: “Tablas de logaritmos de Lalande”.

Aunque parezca raro, mi idea, al ver tantos números, era saber si podía descubrir cómo estaban ordenados y qué patrón podía encontrar. Era fácil advertir que estaban dispuestos de menor a mayor, pero ¿qué separaba a uno del siguiente? ¿Cómo hacer para calcular el próximo sabiendo el anterior?

No me daba cuenta de que, si hubiera habido una manera de hacerlo, ¿para qué alguien habría de escribir y publicar un libro sobre el tema? Es decir, si hubiera habido alguna forma de descubrir el número siguiente, conociendo el anterior, no tendría sentido escribir esas tablas. Sería equivalente a que aparecieran publicadas las tablas de multiplicar.

La pregunta obvia era entonces: ¿para qué sirven? ¿Qué son los logaritmos?

Mi viejo me preguntó: “¿Qué es más fácil: multiplicar o sumar?”. Yo contesté lo mismo que usted está pensando: “sumar”.

Luego –como era esperable– vino otra pregunta de mi padre: “¿Qué es más fácil: calcular potencias de números o multiplicar?”, que obtuvo la respuesta obvia: “multiplicar”.

Y eso, aunque parezca una banalidad, es lo que uno tiene que saber si quiere hacer cálculos en forma más sencilla. Obviamente, en la década de 1950 no había calculadoras ni computadoras. Por lo tanto, si uno tenía que hacer operaciones con números grandes (de muchos dígitos), usar logaritmos era la forma de abordarlos.

En esencia, los logaritmos ayudan a multiplicar números de muchos dígitos. Si bien no voy a hacer acá el desarrollo de la teoría de los logaritmos, lo primero que uno aprende de ellos es que si tuviera que multiplicar dos números “grandes”, lo que hace es calcularles el logaritmo a ambos, luego sumar esos logaritmos y, después, se vuelve para atrás (lo que en la escuela se llama “calcular el antilogaritmo”, o bien uno vuelve para atrás con la función exponencial).

Para simplificar, supongamos que uno tiene que multiplicar dos números escritos como potencias de 10. Digamos 105 x 107 . Dicho de otra forma:

100.000 x 10.000.000 (*),

o sea, cien mil por diez millones.

El número 5 –que aparece en 105– cuenta la cantidad de “ceros” que tiene el primer número, y de la misma forma el número 7 –que aparece en 107–cuenta el número de ceros que tiene el segundo.

Entonces, si uno calcula los logaritmos de ambos, obtiene 5 y 7. Los suma y obtiene el número 12. “Volver para atrás”, en este caso, significa poner un uno seguido de doce ceros, y por lo tanto, el resultado de multiplicar 105 x 107 = 1012= 1.000.000.000.000.

La cantidad de dígitos que tiene un número indica cuán grande es. Lo que hace el logaritmo de ese número –entre otras cosas– es detectar cuántos dígitos tiene y, por lo tanto, saber qué tamaño tiene.

De esa forma, uno tiene idea del tamaño que tendrá el producto. Después lo podrá calcular con mayor o menor precisión, pero estimar el número de dígitos permite estimar el tamaño del producto.

Por supuesto, los logaritmos tienen múltiples aplicaciones que sería imposible enumerar acá. Pero, al menos ahora, si alguien viene y le pregunta para qué puede servir conocer el logaritmo de un número, usted le puede contestar que tener ese dato permite saber (entre otras cosas) el tamaño del número. Permite también convertir multiplicaciones en sumas y potencias en productos. Se usan para convertir cuentas complicadas en otras mucho más sencillas.

Pero el logaritmo (y su inversa, la función exponencial) también se usa para medir la intensidad de un terremoto (en la escala de Richter), para evaluar cuánto tiempo llevaría la solución de un problema mediante una computadora (lo que se llama estimar la complejidad de un proceso), para describir el decaimiento radiactivo de una sustancia, para medir cómo se expande una enfermedad o cómo crece o decrece una colonia de bacterias, para calcular cómo crece un determinado capital invertido en un banco a un cierto interés, en múltiples ocasiones en ingeniería y física... y la lista continúa. Hasta para medir semitonos en las partituras de música están presentes.

Para todos aquellos que nacimos antes de la era de las calculadoras-computadoras, usar logaritmos y reglas de cálculo era nuestra única salvación. Los usábamos para resolver operaciones larguísimas y cuentas tediosas que, hoy, abordamos con total naturalidad. Lo que pasa es que hoy nos resultan transparentes. Están, sí, pero no se los ve.

(*) 105 = 100.000 y 107= 10.000.000