Tengo ahora dos problemas para usted. En cada caso, lo primero que hay que hacer es decidir si tienen solución o no. Si la tienen, la/lo invito a que la encuentre, pero si con alguno de ellos usted cree que no se podrá encontrar, será interesante que pueda explicar(se) por qué eso sucede.

Acá van. En una ciudad pequeña, durante un invierno muy crudo, se hizo una medición de la temperatura durante cinco días seguidos a la misma hora: las 3 de la mañana. Se descubrió que en cada día, la medición resultó ser un número diferente (se consideraron nada más que números enteros, o sea, se hicieron las aproximaciones o redondeos necesarios para no tener que medir con decimales). Las preguntas que tengo para usted son:

1) Si se sabe que al multiplicar las temperaturas de esos cinco días se obtuvo el número 12, ¿es posible decidir cuáles fueron esos cinco números?

2) Si se sabe que al multiplicar las temperaturas de esos cinco días se obtuvo el número 30, ¿es posible en este caso decidir cuáles fueron esos cinco números?

Ahora, le toca a usted.

Respuestas

Caso 1) Fíjese el número 12 (que es el resultado de multiplicar las temperaturas de esos cinco días). ¿De cuántas formas se podría descomponer como producto de cinco números enteros distintos? (Piense usted antes de seguir y vea si esta idea lo ayuda.)

Sigo yo: El número 12, en principio, se descompone así:

12 = 3 x 4,

pero así, uno advierte que hay nada más que dos números distintos. ¿Qué hacer? Podríamos agregar el número 1. Es decir, se tiene:

12 = 1 x 3 x 4.

O también, podríamos poner así:

12 = 1 x 2 x 2 x 3

El problema con esta última descomposición es que no se pueden repetir números (porque se dice que todos los días hubo una temperatura distinta), por lo que como el número “2” aparece dos veces, entonces no serviría para resolver el problema. ¿Se podrá hacer algo más? ¿O algo distinto?

La descomposición 3 x 4 es buena porque son números distintos, pero no son cinco.

Lo mismo con 1 x 3 x 4. También es buena, pero son sólo tres números. Y la última que consideré, 1 x 2 x 2 x 3, agrega un número más (aunque todavía no son cinco) pero no sirve porque repite el número 2.

Acá es donde conviene pensar un poco “por el costado” del problema. Evidentemente, con números positivos habría que decir que no hay solución. Pero claro, esto sucede porque no nos estamos permitiendo usar los números negativos. El problema decía que era invierno (como un dato adicional, pero sugerente), por lo cual, las temperaturas podrían ser bajo cero. ¿Quiere pensar usted ahora?

Sigo: uno podría poner 12 = (-1) x 2 x (-2) x 1 x 3.

¿Será ésta la solución? En principio, esta descomposición es buena porque contiene cinco números. Y además, es buena en el sentido de que son cinco números distintos.

O sea, hemos descubierto que una solución posible es ésa.

¿Será la única? Es decir, ¿habrá alguna otra forma de descomponer al número 12 como producto de cinco números enteros distintos?

El único número que no podría considerar, es agregar el (-3) en lugar del 3. Pero si uno hace eso, tiene que hacer desaparecer o bien al número (-1), o bien al número (-2), porque como el producto es positivo (tiene que ser 12), la cantidad de números negativos tiene que ser par (para que se compensen entre ellos). Y claramente, si yo pongo (-3) y hago desaparecer o el (-1) o el (-2), entonces, las descomposiciones quedarían así:

12 = 2 x (-2) x 1 x (-3), o bien

12 = (-1) x 2 x 1 x (-3).

Si bien en ambos casos se obtiene el número 12, ahora, resulta ser el producto de cuatro números distintos y no cinco como pide el problema.

Luego, como conclusión, la única manera de descomponer el número 12 como producto de cinco números enteros distintos es:

12 = (-1) x 1 x (-2) x 2 x 3

Caso 2: Si ahora se sabe que el producto de los cinco números es 30, ¿habrá solución única? Es decir, si uno logra descomponer al número 30 como producto de cinco números, ¿será ésa la única forma de manera tal de que se pueda decidir qué temperatura hubo cada día? Veamos juntos (y por eso, le pido que se dedique usted a pensar el problema, que es muy parecido al anterior).

¿De cuántas formas se puede descomponer al número 30?

En principio, si uno lo descompone como producto de números primos positivos, entonces obtiene:

30 = 2 x 3 x 5

Uno podría agregar ahora, al número 1, que si bien no es primo, no agrega nada, pero sería posible que uno de los días la temperatura fuera de un grado.

Se tiene entonces:

30 = 1 x 2 x 3 x 5.

Pero, todavía no hay cinco números. Si uno quisiera agregar algún negativo (como hice en el caso anterior), me parece que se podría poner de varias formas. Fíjese:

30 = (-1) x 1 x (-2) x 3 x 5

o bien

30 = (-1) x 1 x 2 x (-3) x 5.

O incluso

30 = (-1) x 1 x 2 x 3 x (-5)

Es decir, hemos conseguido tres formas de descomponer el número 30, como producto de cinco números distintos, por lo que entonces el problema planteado no tendría una solución única y, por lo tanto, la persona que creyó que podría decidir cuáles eran esas temperaturas no lo podría saber.

Nota: Todo esto está basado en lo que se conoce como el Teorema Fundamental de la Aritmética. Este teorema dice que todo número entero diferente de 1 o -1 se puede descomponer de una única forma (salvo el orden) como producto de números primos. En consecuencia, en el problema planteado más arriba, uno usa el teorema inadvertidamente, porque la unicidad en la descomposición (o descomposiciones) es lo que permite deducir que en el caso 1 el problema tiene solución única, y en el caso 2, hay varias soluciones.