El que sigue es un problema que propuso el más grande divulgador de la matemática del siglo XX (y parte del XXI): Martin Gardner (1). Todo el crédito del problema es para él.

En medio del Abierto de Australia es un buen momento para concentrarse en el tema. Es curioso cómo un simple partido de tenis puede ayudar para razonar con lógica y proveer un resultado tan interesante.

Supongamos que Miranda y Rosemary jugaron un solo set en un partido de tenis, que terminó con el triunfo de Miranda 6-3. Se sabe, además, que se quebraron el saque en total 5 veces (2). La pregunta es: ¿quién sacó primero?

Por razones obvias, la única gracia que tiene este problema es pensarlo uno. Por supuesto que más abajo figura la solución, pero... ¿qué ganaría usted en leerla sin pensar? Supongamos que la respuesta fuera: “empezó sacando Rosemary”. ¿Y? ¿Para qué le sirvió a usted leer esta parte del diario? ¿En qué hubiera mejorado usted? Por eso, lo mejor que uno puede hacer es disfrutar de pensarlo... y pelearse con uno mismo hasta que entienda por dónde hay que abordarlo. Que lo disfrute.

Solución

Se jugaron 9 games. Pueden suceder dos cosas: o bien sacó primero Miranda (a quien voy a llamar M a partir de ahora), en cuyo caso esta es la distribución:

M R M R M R M R M

o bien sacó primero Rosemary (a quien llamaré R), produciéndose el siguiente esquema:

R M R M R M R M R

En el primer caso, Miranda sacó 5 veces y Rosemary 4. En el segundo, al revés, Rosemary sacó 5 y Miranda, 4.

Consideremos el primer caso (o sea, Miranda sacó primero, lo que obliga a que haya sacado 5 veces, y Rosemary sacó 4). Vamos a analizar los casos posibles, de acuerdo con la cantidad de veces que ganó M con su saque.

a) Supongamos que M ganó las 5 veces que sacó. ¿Es posible esto? La respuesta es... no. Pero ¿por qué? La respuesta es que si M ganó con su saque las 5 veces, entonces R no le pudo quebrar el saque nunca. La única alternativa entonces es que M le haya quebrado el saque a R en 5 oportunidades, pero esto es imposible porque R sólo sacó 4 veces. Luego, descartamos esta posibilidad.

b) Supongamos ahora que M ganó 4 de las 5 veces que sacó. Esto implica que R le quebró el saque una vez. Pero entonces, para poder llegar a que se rompieran el saque 5 veces en total, esto significa que M le tuvo que haber roto el saque a R en 4 oportunidades. Pero si esto fuera así, M tendría 8 puntos (4 con su saque y otros 4 con el saque de R). Imposible. Luego, descartamos esta posibilidad también.

c) Supongamos ahora que M ganó 3 de las 5 veces que sacó. Esto significa que R quebró el saque de M en 2 oportunidades. Para poder llegar a las 5 veces que se quebraron en total, M tuvo que haberle quebrado el saque a R tres veces. Y ahora justo se da la circunstancia de que M tendría 6 puntos, los quiebres serían 5 (dos en donde R le quebró el saque a M, y tres en donde M le quebró el saque a R), por lo que ahora la cuenta da perfectamente. Esta es una posibilidad concreta: M ganó 3 veces con su saque. R ganó 1 sola vez con su saque (perdió en las otras tres), y como M ganó sólo 3 veces de las 5, esto significa que R le ganó en las otras dos. Esta es la situación que nos pedía el problema, y se dio cuando M sacó primero.

d) ¿Podrá darse el caso en que M haya ganado sólo 2 veces con su saque? Si esto fuera así, R habría quebrado el saque de M en 3 oportunidades. Pero para poder llegar a tener 6 puntos, M debió ganar 4 veces cuando quien sacaba era R. Solo que entonces se habrían producido 4 más 3 quiebres en total, y esto contradice las hipótesis del problema. Luego, hay que descartar este caso también.

e) Si suponemos que M ganó una sola vez con su saque, esto implica que R le quebró el saque en las otras 4, pero esto contradice la hipótesis de que R sólo consiguió 3 puntos en total. Luego, hay que descartarla también.

f) Si M no ganó nunca con su saque, esto implica que tendría que haber ganado siempre con el saque de R, pero esto implica que M tiene sólo 4 puntos, y no pudo llegar nunca a los 6 que dice el enunciado. Hay que descartarlo también.

Corolario: sólo la situación (c) es la que cumple con todas las hipótesis.

Analicemos ahora el segundo caso, en donde R es quien saca 5 veces y es M quien sólo saca 4. Veamos si puede darse algunas de las posibilidades. Obviamente, R no puede ganar más que 3 veces con su saque, porque en total tiene 3 puntos.

a) Supongamos, entonces, que R ganó 3 veces con su saque. Luego M le quebró el saque 2 veces. Como R no pudo ganar más puntos, M tuvo que haber ganado todos los puntos con su saque, y esto es imposible porque si bien es verdad que M tendría los 6 puntos que indica la hipótesis, no se han producido los 5 quiebres de saque que indica el problema. Moraleja, hay que descartar esta opción.

b) Supongamos que R ganó 2 veces con su saque. Entonces, M tiene que haberle quebrado el saque en 3 oportunidades. Queda por saber qué pasó con los puntos en los que sacó M (que son 4). Para que R junte los 3 puntos que le hacen falta, tiene que haberle quebrado el saque a M una sola vez. Esto implica que M ganó 3 de los 4 puntos. Pero entonces lo que falla es la cantidad de veces que se produjeron los quiebres de saque: M quebró 3 veces y R quebró 1 vez. La suma no da 5 como debiera. Luego, hay que descartar esta posibilidad también.

c) Supongamos ahora que R ganó 1 vez con su saque. Entonces, M le quebró 4 veces el saque. Para que en total haya 5 quiebres, eso significa que R está obligado a haber quebrado el saque de M una sola vez más. Pero entonces R tiene en total 2 puntos y no 3 como debiera. También hay que descartar esta posibilidad.

d) La última alternativa para considerar es que R no haya ganado nunca con su saque. Pero esto implicaría que M le tiene que haber quebrado el saque siempre, o sea, las 5 veces que sacó R. En ese caso R, para poder juntar sus 3 puntos, tendría que quebrarle el saque a M 3 veces. Pero esto es imposible porque la cantidad de veces que se quebraron el saque entre las dos es 5. Luego, las hipótesis no se pueden cumplir. Moraleja: hay que sacar esta posibilidad.

Moraleja final: la única manera que se cumpla lo pedido es la posibilidad (c) del primer caso, cuando quien sacaba era M, y lo que tiene que haber sucedido es que haya ganado 3 de las 5 veces que sacó (lo que implica que R haya quebrado 2 veces), y que M le haya quebrado el saque a R tres veces, con lo que se cumple todo: M ganó 6 puntos, R ganó 3 puntos, y entre ambas se quebraron el saque en 5 oportunidades.

Como no importa el orden en el que se produjeron los quiebres, uno puede suponer que los resultados parciales fueron:

0-1 (quiebre de Rosemary a Miranda)

0-2 (gana Rosemary con su saque)

0-3 (nuevo quiebre de Rosemary a Miranda)

1-3 (quiebre de Miranda a Rosemary)

2-3 (gana Miranda con su saque) (*)

3-3 (quiebre de Miranda a Rosemary)

4-3 (gana Miranda con su saque)

5-3 (quiebre de Miranda a Rosemary)

6-3 (gana Miranda con su saque)

Esto termina por resolver el problema en forma exhaustiva, ya que analicé todas las posibilidades. Muchas veces, cuando el número de casos no es descomunalmente grande, hacer un estudio exhaustivo (o sea, agotando todas las alternativas) permite sacar una conclusión terminante. La solución (*) es la única posible. Eso sí: esto último también es hacer matemática. Pensar alternativas, evaluar posibilidades, razonar con diferentes hipótesis... son parte de la tarea cotidiana de cualquier matemático. Aunque no juegue al tenis (3).

(1) Martin Gardner es el autor más reconocido en el mundo por sus aportes a la matemática, desde un lugar totalmente no convencional. Autor de muchísimos libros, editor de múltiples revistas de difusión, es considerado algo así como el gurú o icono de la especialidad. Este problema está extraído de uno de sus libros (The Unexpected Hanging and Other Mathematical Diversions); conservé los nombres que él eligió para darle a las jugadoras casi como un reconocimiento tácito a su contribución inigualable.

(2) Para aquellos que no saben nada de tenis –y no hay razones para suponer que uno sí sabe– escribo acá que se entiende que una jugadora gana un set cuando llega a obtener seis puntos. Omito por razones de necesidad, los casos que involucran tiebreaks, etc. Para el problema sólo hace falta saber que quien llega primero a ganar seis juegos, es quien gana el set. Por otro lado, cada jugador es quien saca hasta que se define el punto. Se entiende que el jugador que saca tiene una ventaja, por lo que se supone que debería ganar ese juego. Cuando esto no sucede, se dice que el rival le quebró el saque. De ahí la pregunta del problema. Además, el saque se alterna entre las dos jugadoras. Una vez cada una, hasta que termine el partido.

(3) ¿Habrá alguna respuesta más sencilla a este problema? A mí no se me ocurrió... pero, obviamente, eso no significa nada. Quizás usted encontró una solución más elegante y más breve. Ojalá.