Peter Winkler es un matemático norteamericano nacido en 1946. Es uno de los especialistas más importantes del mundo en matemática recreativa. Es la matemática que yo creo que tendría que tener una fuerte inserción en los primeros estadios de la formación de nuestros niños y en la educación secundaria también.

El problema que voy a presentar más abajo es entretenido y sencillo. No es la versión original que presenta Winkler, sino una adaptación mía, pero los cambios son irrelevantes. Eso sí: el propio Winkler cuenta que él lo encontró en la 6ª Competencia de Matemática de la ex Unión Soviética que se realizó en Voronezh en 1966.

Acá va: “Un número impar de alumnos de una escuela están distribuidos en el patio en el momento de un recreo. Sin embargo, la distribución no es cualquiera: todas las distancias entre pares de estudiantes son números distintos. Es decir, si por ejemplo hay dos niños que están a un metro de distancia, no puede haber ningún otro par que también estén a un metro exactamente. La maestra les pide a todos que concentren la vista en el compañero que tengan más cerca. El problema consiste en demostrar que tiene que haber al menos un estudiante al que no lo mira nadie”.

Como usted advierte, el planteo es realmente muy sencillo: un número impar de chicos distribuidos en el patio de una escuela, todos a distancias distintas entre sí, y todos tienen que mirar al que más cerca tienen. Todo lo que hay que hacer es demostrar que sea cual fuere la disposición de los chicos, siempre tiene que haber al menos uno al que no lo está mirando nadie.

¿Tiene que ver esto con la matemática? Respuesta apurada: ¡sí! Esto es parte de la matemática. Claro que no tiene nada que ver con ángulos opuestos por el vértice ni casos de factoreo ni “sacar paréntesis”, ni “sumar quebrados”. Pero es parte de la matemática recreativa, la que –creo– debería explorarse y explotarse más en las escuelas y colegios, para luchar contra la percepción instalada (y con absoluta razón) de que la matemática que se enseña está totalmente desligada de la realidad que nos rodea.

Por supuesto que no se me escapa que el problema en sí mismo, así como lo planteé, es virtualmente imposible que suceda en la vida cotidiana: ¿quién va a distribuir un número impar de chicos en un colegio cuidándose de que todos estén a distintas distancias y mirando al que uno tiene más cerca? Respuesta obvia: nadie.

Pero la diferencia está en que pensar problemas de este tipo no sólo es entretenido/divertido, sino que además permite desarrollar estrategias, que quizá parezcan sólo útiles para este problema en particular, pero que yo creo que abren caminos para problemas futuros, para la vida de todos los días. La mayoría de nosotros tiene que tomar decisiones cotidianamente, tiene que evaluar opciones, opinar... y la matemática es la fuente natural para entrenarse. Más allá de la digresión, le sugiero que piense el problema porque vale la pena. Y no hay apuro. No lea la solución si no le dedicó un rato. En fin, usted decide.

Por las dudas, aquí va la solución.

El número de estudiantes involucrados es un número impar cualquiera. A los efectos de hacer más visible el razonamiento, voy a suponer que hay 11 (once) alumnos, pero el argumento funciona exactamente igual para cualquier número impar. La primera cosa que quiero hacer es mostrarle que si hay dos alumnos (o más) que están mirando al mismo, entonces el problema está resuelto (¿quiere pensarlo usted por su cuenta?).

Es que si hay dos alumnos mirando al mismo, eso quiere decir que hay nueve de los once que no sabemos a quién miran. Pero como quedan diez (de los once) por ser “mirados”, entonces, hay nueve que tendrían que mirar a diez. Esto es imposible. Luego, al menos uno de los alumnos no es observado por nadie. Y eso es lo que queríamos demostrar.

Moraleja 1: si hay dos (o más) niños mirando al mismo, entonces el problema está resuelto.

En lo que sigue entonces, voy a suponer que todos los niños están mirando a un solo compañero. Y aun así, voy a tratar de convencerla/lo de que hay un niño que no es mirado por nadie.

Veamos. Entre todas las posibles distancias que hay entre los chicos, tiene que haber alguna que sea la menor (ya que son todas distintas). Esos dos niños se tienen que estar mirando entre sí (ya que no puede haber ningún otro niño más cerca).

Pero no sólo eso: no hay ninguno más mirándolos, porque si no tendríamos el problema resuelto por lo que vimos más arriba.

Acá es donde interviene un típico argumento matemático: puedo retirar de mi análisis a estos dos niños ya que entre ellos no está el que estoy buscando (el que no es mirado por nadie). Hago de cuenta entonces que estos dos niños no están en el patio. Ahora me quedo con nueve (de los 11 iniciales), y repito el procedimiento.

Entre estos nueve que quedaron, hay dos que están separados por la menor distancia. Y como en el caso anterior, los puedo retirar porque ninguno de los dos es el candidato que busco (“niño no mirado por nadie”). Ahora tengo siete. Y sigo con la misma idea. En algún momento, quedarán cinco, después tres... y finalmente, uno solo. Justamente, este último niño es el que estoy buscando. El es quien no está siendo mirado por nadie.

Moraleja 2: la solución de este problema utiliza herramientas “típicas” de la matemática que no son popularmente conocidas (pero debieran). Ir retirando los estudiantes de a dos (y argumentando las razones que permiten hacerlo) hasta llegar al final, muestra el poder de este proceso.

Moraleja 3: haber evaluado el caso de 11 alumnos en lugar del caso general con un número impar, lo único que hizo es tomar un caso particular que sugiere lo que hay que hacer en el caso general. Lo único que importa es que sea un número impar de estudiantes, porque al ir retirando de a dos, en algún momento el proceso va a terminar con un solo alumno que no es “mirado” por ningún compañero.

Conclusión

Es obvio que la matemática recreativa no es toda la matemática (ni mucho menos). Pero también es cierto que alguien que va a empezar en su vida aprendiendo cómo usar herramientas tan poderosas como las que se utilizan en este problema necesita que lo ayuden a disfrutar de lo que está haciendo. Y de eso se trata: aprender, estudiar o ir al colegio/escuela, no puede ni debe estar emparentado con el sufrimiento (que obviamente produce rechazo). La idea es entrenarse para resolver problemas que presenta la vida cotidiana aprendiendo a usar la mayor cantidad de herramientas disponibles. Por eso, aprender jugando no es una mala idea.