En la vida, vivimos pensando en estrategias.

¿Cómo optimizar el dinero que tenemos?

¿Cómo planificar el fin de semana?

¿Cómo elaborar una excusa “creíble” por algo que no hicimos?

¿Cómo decirle que “no” a alguien?

¿Cómo decirle que “sí” a alguien?

¿Cómo ser “justo” con un hijo sin que eso origine una reacción en cadena con el/los otro/s?

En fin. La lista sigue... y es larga. Pero me detengo acá.

Es bueno entonces estar preparado para poder “acertar” más veces que las “esperables”. Es decir, tratar de poder incrementar nuestras chances de que nos vaya mejor.

La matemática suele servir para modelar situaciones. Es muy poco probable que uno tenga que enfrentarse con el ejemplo que sigue. Sin embargo, pensar en su solución puede proveer una estructura que será útil (eventualmente) en dar respuestas a problemas que uno sí puede llegar a tener. Acompáñeme.

Dos personas (digamos A y B) tiran cada una una moneda. No tienen comunicación entre sí.

Cuando ya se conocen los resultados, cada uno tiene que “adivinar” lo que le tocó “al otro”.

El problema consiste en establecer una buena estrategia, que permita maximizar la probabilidad de que acierten. Es decir, si no planifican nada, la probabilidad de que acierten es 1/4, como vamos a ver inmediatamente.

La idea es que usted elabore una estrategia que permita mejorar esta probabilidad, o sea, lograr que los aciertos no sean 1 de cada 4, sino que acierten más veces.

Antes de pasar a la solución, lo invito a que piense por qué, si no planifican nada, la probabilidad de que acierten es 1/4.

Cuando A tiene que decir lo que le salió a B al tirar la moneda, puede acertar o errar. Lo mismo cuando a B le toca decir lo que obtuvo A. Juntando los casos de ambos, pueden producir estas cuatro situaciones:

A acierte y B acierte

A acierte y B se equivoque

A se equivoque y B acierte

A se equivoque y B también

Como se ve, hay solamente una posibilidad (entre las cuatro) de que acierten los dos. Y por lo tanto la probabilidad de que acierten los dos es 1/4.

Ahora lo dejo a usted (con usted misma/mismo), para tratar de elaborar una estrategia que puedan usar los dos que les permita aumentar las posibilidades de acertar.

Eso sí: cualquier elaboración que hagan, tendrán que determinarla antes de tirar las monedas, y no puede haber ninguna comunicación entre ellos una vez que están por arrojar las monedas al aire.

Solución

Voy a proponer una solución, pero como usted va a advertir inmediatamente, no es la única.

Los dos deciden hacer lo siguiente: “van a decir que al otro le salió lo mismo que les salió a ellos”.

Es decir, si a uno le salió “cara”, cuando le pregunten qué le salió al otro, va a decir “cara” también. Y lo mismo con el otro.

En ese caso, analicemos la probabilidad de que acierten los dos. Para eso, veamos de todos los posibles casos, cuáles son los que les sirven para ganar.

Si a ambos les sale lo mismo, ganan. Si a ambos, les sale diferente, pierden.

Los posibles casos son:

Cara-Cara

Cara-Ceca

Ceca-Cara y

Ceca-Ceca

Ganan en dos (de los cuatro): Cara-Cara y Ceca- Ceca.

Y pierden en los dos restantes. Luego, aciertan en dos de cuatro. Luego, la probabilidad es ahora 1/2 !!!

Y por supuesto, esto mejora la probabilidad que tenían antes, que era de 1/4.

Por lo tanto, a pesar de que no parecía posible, hay una estrategia que les permite incrementar las chances de acertar.

Una observación: hay otra estrategia que pueden elaborar a partir de la que propuse más arriba. ¿Quiere pensarla usted? Está directamente relacionada con la anterior.

Sigo yo: lo que podrían hacer, es decir lo opuesto de lo que le tocó a uno. Es decir, si a uno le sale cara, dice ceca. Y viceversa.

En ese caso, también tienen dos posibilidades sobre cuatro de acertar:

Cara-ceca y Ceca-Cara.

Y también la probabilidad de acertar se incrementó a 1/2, que es –obviamente– mejor que 1/4, como había al principio.

Nota 1: este problema me fue sugerido por el Dr. Matías Graña, gran amigo y profesor también en la UBA.

Nota 2: Otra manera de ver que si no hay estrategia establecida la probabilidad es de 1/4.

Para calcular la probabilidad de que sucedan dos eventos independientes, es decir, que el resultado de uno no tenga ninguna relación con el otro, lo que se hace es multiplicar la probabilidad de que suceda cada uno de esos eventos por separado.

La probabilidad de que A acierte lo que tiene B es 1/2, porque A sabe lo que le salió a él, por lo que tiene una en dos posibilidades de acertar lo que sacó B (que pudo haber sido o bien “cara” o bien “ceca”). Luego, su probabilidad es 1/2.

De la misma forma, la probabilidad de que B acierte también es 1/2, ya que B sabe lo que él tiene. Adivinar lo que tiene A tiene 50 por ciento de chance de ser cierto. Luego, su probabilidad de acertar es 1/2.

Dicho esto, la probabilidad de que acierten los dos es el producto de ambas probabilidades:

1/2 x 1/2 = 1/4