La matemática interviene en múltiples situaciones de nuestra vida cotidiana, muchísimas más de las que alcanzamos a tener conciencia. No es mi propósito enumerarlas aquí pero lo que sí me interesa es mostrar cómo la utilizamos en un tema muy específico: las estimaciones.

Uno se pasa la vida estimando. Estima cuando decide cuánto tiempo necesita para levantarse a la mañana, estima cuando decide si no le queda más remedio que tomar un taxi porque con el colectivo no llega, estima cuando tiene que decidir cuánto comprar de carne para hacer un asado... usted elija lo que le resulte más familiar.

Parte de esas estimaciones es que uno se entrena para detectar (y desechar) “imposibles”. Es decir, si yo le dijera que la temperatura de hoy va a llegar a los 90 grados, usted sabe que esa estimación es incorrecta. Si yo le dijera que compre 140 kilos de carne para que coman seis personas, también. Estos ejemplos le llaman la atención porque usted reconoce inmediatamente que las estimaciones son incorrectas. Pero si yo le preguntara ¿cuántos afinadores de piano hay en Córdoba o cuántas montañas hay en la cordillera de los Andes?, allí sus convicciones tambalearían un poco más, porque son estimaciones que uno no está acostumbrado a hacer. Por supuesto, no se espera de usted una respuesta exacta, pero sí se supone que uno debería poder encontrar una buena aproximación.

Lo que uno no querría es responder que hay diez afinadores de piano cuando hay 400, pero tampoco quiere decir 14 mil cuando son 200. O sea, se trata de poder aprender a estimar, a “encerrar” entre un par de topes (superior e inferior) y sobre todo, a detectar cuándo usted se tropieza con una respuesta que entiende posible versus otra que invita a pensar: “No puede ser”. En todo caso, uno quiere descubrir si en alguna parte “alguien está diciendo un disparate”.

El problema que sigue es ciertamente muy sencillo. Es posible que le resulte muy fácil aunque si eso no ocurre tampoco es grave. Nunca es grave que uno no pueda resolver un problema. En todo caso, el valor está en disfrutar al pensarlo.

Pero lo que me importa en este caso es invitarla/lo a dar una respuesta estimada, basada en su intuición y su conocimiento, en argumentos que no necesariamente signifiquen “tener que hacer todas las cuentas” para comprobarlo (aunque yo las voy a hacer después). Acá va.

Suponga que cuatro personas (digamos A, B, C y D) se presentaron a rendir una prueba para acceder a un trabajo. El objetivo era contestar 100 preguntas. Todas tenían el mismo valor: un punto por respuesta correcta.

Una vez que los cuatro rindieron el examen, los organizadores calcularon el promedio y descubrieron que fue de 75 puntos, y escribieron las siguientes observaciones:

a) El candidato A se equivocó en dos preguntas solamente.

b) El B, completó correctamente 96.

c) En cambio el C, contestó seis preguntas en forma errónea.

Ahora tengo un par de preguntas:

a) ¿Cómo estima usted que le fue a D en el test?

b) Para ser más precisos, ¿qué puntaje obtuvo D?

No hace falta que lea lo que sigue. Si le interesó el problema, deténgase a pensarlo con tranquilidad y deduzca las respuestas en soledad. El resto es irrelevante.

Solución

Antes de contestar, quiero sugerirle que se pregunte lo siguiente: ¿qué le dice su intuición que pasó? Quiero decir, ¿cómo cree que le fue a D: bien, muy bien, mal, muy mal?

No haga las cuentas todavía. Tómese un tiempo para pensar.

Al leer (y deducir) los puntajes de A, B y C, uno detecta que a ellos les fue muy bien.

Por un lado, A contestó bien 98 de las 100.

Por su parte B obtuvo 96 puntos y finalmente C se equivocó en seis preguntas, lo que indica que obtuvo 94 como puntaje final.

Es decir, los tres estuvieron por encima de los 90 puntos. Ahora piense en el dato que figura en el enunciado del problema: el promedio. Este promedio era de ¡75 puntos! ¿Qué dice esto sobre el examen de D?

Si entre los tres primeros obtuvieron un promedio que supera los 94 puntos (ya que los tres estuvieron por encima de ese puntaje) pero el total decayó abruptamente hasta llegar a 75, el único de los candidatos que no habíamos considerado tiene que haber obtenido un puntaje muy bajo.

Es que para haber reducido el promedio de más de 94 a 75 su prueba tiene que haber sido realmente muy mala. Fíjese que si D hubiera sacado cero puntos, el promedio de los cuatro ¡ya hubiera estado por encima de los 70 puntos! O sea, lo que aportó D al promedio de los cuatro fue realmente insignificante.

Ahora, hagamos las cuentas para confirmarlo.

Queremos (juntos) buscar cuántas preguntas correctas contestó D.

Como en promedio se sabe que sacaron 75 puntos, eso quiere decir que:

(98+96+94+D)/4 = 75 *

De acá es muy fácil deducir el resultado, ya que la igualdad * puede re-escribirse así:

98+96+94+D = 4 x 75 = 300

O sea,

288 + D = 300,

por lo que D = 12.

La respuesta final entonces es que D obtuvo 12 puntos, pero como escribí más arriba, no es tan importante haber encontrado el resultado correcto como haber podido inferir, con los datos iniciales, que a D le tuvo que haber ido muy mal en el test y que su puntaje tuvo que haber sido extremadamente bajo.

Como escribí al principio, no se me escapa que el problema en sí mismo es muy elemental, pero el objetivo estaba puesto en otro lado: aprender a conjeturar y estimar si un potencial resultado puede estar bien o no, y de paso nos ayuda a testear nuestra capacidad para intuir... lo que no es poco.