Raymond Smullyan es un matemático norteamericano que nació en Nueva York en 1919. Además, es concertista de piano, se dedica a la magia y es un especialista en lógica. Pero su fama proviene del volumen increíble de problemas para entrenar el pensamiento con los que roció su vida. Publicó once libros dedicados únicamente a la matemática recreativa, aunque supongo que el más conocido fue el que apareció en 1978: ¿Cuál es el nombre de este libro? (What is the Name of This Book?).

Es imposible seleccionar una sola historia que le haga un poco de justicia. Por lo tanto, cualquier elección que yo haga será arbitraria, pero igualmente quiero reproducir al menos una que Smullyan publicó en 1979. La voy a llamar (de la misma forma que Ian Stewart): “La Lotería Infinita”. Y, de entrada, allí aparece el primer “atentado a la intuición”. Todo lo que tenga que ver con el infinito, roza lo ideal. Los humanos operamos y trabajamos en general con conjuntos finitos y nos cuesta extrapolar y extraer verdades en un mundo infinito, pero siempre es motivo de excitación. Acá va.

La idea es tratar de elaborar una estrategia para ganar. Claro, habrá que leer un poco más abajo para saber qué quiere decir ganar dentro del contexto del juego que propone Smullyan. Ese es el desafío para usted. Dedíquele un rato y no se apure a leer la respuesta. No se prive del placer de pensar si hay una solución (o no). Vale la pena.

El problema dice lo siguiente: Supongamos que uno tiene infinitas bolsas. Estas bolsas están numeradas mediante una etiqueta pegada en el exterior, y la numeración es ascendente: 1,2,3,4,5,... y así siguiendo indefinidamente (recuerde que son infinitas bolsas).

Adentro de cada bolsa hay infinitas bolitas identificadas con el número de cada bolsa. Por ejemplo, la que tiene el número 27 en la etiqueta contiene adentro infinitas bolitas con el número 27. Y lo mismo sucede con todas las otras.

Por último, usted tiene una caja enorme, en donde podrá poner la cantidad de bolitas que quiera, pero siempre en un número finito. Usted tendrá libertad de elegir bolitas de todas las bolsas que quiera, y tantas bolitas como quiera, pero siempre en un número finito.

Una vez que usted haya seleccionado las bolitas y las haya puesto en la caja, tendrá que seguir la siguiente instrucción: “Meta la mano en la caja y elija una bolita cualquiera, digamos con el número 353 (por poner algún ejemplo). Saque esta bolita y déjela afuera: usted podrá reemplazarla en la caja por tantas bolitas como quiera, siempre en un número finito, pero que tengan números estrictamente menores que 353”. Por ejemplo, usted podrá poner 150 mil bolitas con el número siete, 230 millones de bolitas con el número 14, siete mil millones de bolitas con el número 1, y así siguiendo. Es decir, usted puede reemplazar la bolita que sacó, la que tenía el número 353, por tantas bolitas como quiera (siempre en un número finito), pero eligiéndolas de bolsas que tengan una numeración estrictamente menor que 353.

Y ahora, una vez que haya terminado de reemplazar esa sola bolita por todas las otras, deberá repetir el proceso y volver a seleccionar una bolita, retirarla de la caja y reemplazarla (una vez más) por un número finito de bolitas que tengan una numeración estrictamente inferior a la que usted retiró.

Una observación: si la bolita que usted retiró está identificada con el número “1”, entonces no podrá reemplazarla por bolitas de ninguna bolsa, porque no hay ninguna que tenga números inferiores a uno.

La pregunta ahora es la siguiente: ¿es posible elaborar una estrategia de manera tal que este proceso continúe indefinidamente? Es decir, ¿es posible seleccionar de entrada bolitas en la caja de manera tal que el proceso descripto más arriba no termine nunca?

Si su respuesta es afirmativa, exhiba un ejemplo de cómo elegir las bolitas y comprobar que cumpliendo con las instrucciones usted siempre tendrá bolitas en la caja para seguir sacando en forma indefinida. En cambio, si su respuesta es negativa y le parece que nunca se va a poder, entonces explique por qué.

Ahora, la/lo dejo en soledad para que pueda pensar. Como verá, es un problema atractivo, sencillo de entender y muy entretenido para pensar. ¿Se podrá?

Solución

Curiosamente, a pesar de que uno pueda elegir la cantidad de bolitas que quiera, el hecho de que sean finitas impide que el proceso pueda seguir indefinidamente. Pero, ¿por qué no se puede? O mejor dicho, ¿por qué no se podría elaborar una estrategia que sirva para tener siempre bolitas dentro de la caja?

Acompáñeme en este argumento. Supongamos que alguien ya hizo la elección de las bolitas y las tiene todas dentro de la caja. Como el número de bolitas es finito, entonces forzosamente tiene que haber al menos alguna bolita que tenga un número que sea el mayor de todos los que están adentro de la caja.

Piense bien lo que acaba de leer: si el número de bolitas fuera infinito, esto no tendría por qué ser cierto: uno podría tener bolitas con el número 1, 2, 3, 4, 5, 6... etcétera, pero como podría tener infinitas, no hay razón para suponer que alguna de las bolitas tiene el número mayor. Sin embargo, el hecho de que sean finitas impide que esto sea cierto: ¡tiene que haber alguna que sea la mayor de todas!

Antes de avanzar en la lectura, convénzase de que entendió este último argumento. Si no, no tendrá sentido seguir leyendo, ya que el argumento central reside en ese hecho: que hay alguna bolita que sea la que lleve el mayor número de todas las bolitas que están adentro de la caja.

Ahora analicemos juntos cuál puede ser ese número mayor y vayamos descartando casos.

Por ejemplo, si el número mayor entre todas las bolitas que alguien eligió en la caja es el número 1, entonces, eso quiere decir que todas las bolitas tienen que llevar el número 1 (ya que la mayor lleva el 1). Luego, cuando usted saca la primera bolita, ésa no la puede reemplazar por ninguna otra, porque no hay bolitas que tengan números menores a uno. Luego, cada bolita que saca es irreemplazable. Luego, como el número de bolitas que está dentro de la caja es finito, digamos que son 350 mil millones, llegará un momento en que se le van a acabar las bolitas para retirar. Y allí se termina el juego. Primera moraleja entonces: si todas las bolitas llevan el número uno, es imposible que el proceso siga indefinidamente: se termina tan pronto como se acaban las bolitas con el número uno.

Supongamos ahora que la bolita que tiene el mayor número es el dos. Podría haber muchas con el número dos, y también podría haber muchas con el número uno, pero las que llevan el número dos son las mayores. ¿Qué podría pasar? Si usted empieza a sacar las que llevan el número uno, no las puede reemplazar como vimos antes. Si usted saca una que lleva el número dos, entonces sí, puede reemplazarlas con tantas numeradas con el uno como quiera. Digamos que reemplaza una de las bolitas que tienen el número dos por 700 mil billones de bolitas con el número uno. Todo bien, ahora usted tiene en la caja muchísimas más bolitas, pero lo que importa es que hay ¡una menos de las bolitas que tenían el número dos! O sea, si originalmente –por ejemplo– había 400 mil bolitas con el número 2, ahora le quedan solamente 399.999. El resto son todas bolitas con el número uno. Si usted quiere, puede seguir sacando bolitas con el número uno, pero no las puede reemplazar, y si saca bolitas con el número 2, puede agregar bolitas a la caja (tantas como quiera, pero siempre un número finito), ¡pero todas llevan el número 1! Y además, se quedó con una bolita menos que tiene el número dos. Ahora le quedan 399.998.

Como se advierte, si usted quiere sacar bolitas con el número uno, puede hacerlo, pero en algún momento se le van a acabar y se verá forzado a sacar una con el número dos. Y si empieza sacando alguna que lleva el dos, las puede reemplazar con las que llevan el número 1, pero tendrá una menos que lleva el dos.

Inexorablemente, llegará un momento en que tendrá que seguir reduciendo la cantidad de números 2, y las número 1 se irán agotando con el tiempo. Moraleja: si las bolitas que llevan el mayor número de la caja llevan el número dos, será una cuestión de tiempo hasta que se terminen todas las bolitas.

Con esta idea, ¿no le da ganas de pensar qué pasaría con los otros casos posibles? Es decir, para fijar las ideas: ¿qué pasaría si las bolitas que llevan el mayor número fueran las que tienen un número 3? Supongamos que en la caja hay 900 millones de bolitas con el número 3, pero ninguna con número mayor, ¿qué pasaría?

Pasaría que si usted saca las que llevan el número 1, se le van a agotar en algún momento y no las puede reemplazar. Si usted va sacando las que llevan el número 2, las reemplazará con las que llevan el 1, pero va teniendo menos que tienen el número 2 y, por lo tanto, se le van a agotar las que llevan el 1 y el 2. Y si empieza con las que llevan el número 3, las podrá reemplazar por números 1 y 2 tanto como quiera, pero ahora tendrá menos bolitas con el número 3. Llegará un momento en que se le van a agotar las que llevan 1 y 2 y se verá forzado a elegir alguna más de las que llevan el 3. Moraleja: esta elección tampoco resulta buena, porque el proceso terminará en algún momento.

Y estoy seguro de que usted detectó ya qué es lo que sucede: no importa cuál sea la bolita (o las) bolita (s) que lleve(n) el mayor número. En algún momento, uno necesitará sacar alguna de ellas (porque las otras no pueden permanecer indefinidamente) y no bien empiece a reducir las que llevan el número mayor, la situación está perdida: inexorablemente ¡se va a quedar sin bolitas!

La conclusión entonces es que no importa qué elección de bolitas uno haga en el comienzo, el proceso ¡necesariamente termina y no hay manera de prolongarlo indefinidamente!

Reflexión final

No sé si a usted le pareció interesante, pero en alguna parte, cuando a uno le dicen que va a poder elegir en forma discrecional el número de bolitas y podrá sacar bolitas de infinitas bolsas... supone que sí, que debería haber una estrategia para seguir sacando en forma indefinida. Pero sin embargo no se puede, y la clave está en que el número de bolitas de la caja es finito y eso cambia el panorama. Por supuesto, si el número de bolitas que uno pudiera poner en la caja fuera infinito, entonces sí, claramente se podría elaborar una estrategia que permita no terminar nunca.