Muchas veces, en el afán de resolver un problema, uno apela a la “fuerza bruta”: prueba y prueba. No necesariamente es un mal camino, porque aunque no permita llegar al resultado final, permite sin embargo descubrir algunos patrones que permanecerían ocultos si uno no “se ensuciara las manos”.

Con todo, ese tipo de problemas suelen ser muy útiles por cuanto enseñan y abren caminos que uno no sabía que existían. Le propongo entonces que me acompañe en esta aventura que es el pensar.

Fíjese en el siguiente tablero

1	2	3	4
5	6	7	8
9	10	11	12
13	14	15	16

Y en este otro

11	9	10	12
3	1	2	4
15	6	5	8
7	13	14	16

El objetivo es ir intercambiando las filas y columnas del primer tablero hasta llegar al segundo. ¿Se podrá? Es decir, lo que está permitido es tomar cualquier par de filas (o columnas) del primer tablero e intercambiarlas de lugar. Eso dará lugar a un nuevo “tablero”. Desde allí, usted puede volver a intercambiar dos filas o ahora intercambiar dos columnas cualesquiera. La idea es tratar de encontrar (si existe) un camino que transforme el primer tablero en el segundo. No está claro que se pueda y en eso consiste el problema para pensar.

Si se puede, muestre un camino que lleve de uno a otro.

Si no se puede, dé un argumento que lo explique.

Respuesta

Pensemos juntos qué sucede cuando uno se dispone a usar las operaciones permitidas. Es decir, se permiten intercambiar filas con filas y columnas con columnas.

Tomemos la fila 1 del primer tablero, e intercambiémosla con la tercera (sólo por poner un ejemplo). Los cuatro números que figuran en la primera fila (1, 2, 3 y 4) ahora quedan ubicados en la tercera fila, mientras que simétricamente, los de la tercera (9, 10, 11 y 12) pasaron a ocupar la primera fila. El tablero queda ahora así:

9	10	11	12
5	6	7	8
1	2	3	4
13	14	15	16

Si, por otro lado, ahora permutáramos la segunda y la tercera columna, el tablero aparecería así:

9	11	10	12
5	7	6	8
1	3	2	4
13	15	14	16

Estos dos movimientos, que parecen irrelevantes, dan toda la información que uno necesita.

Fíjese en los números que figuran en las filas y en las columnas del último tablero y compárelos con los que figuran en el tablero inicial. ¿Qué deduce?

Lo que se deduce es que los números de cada fila y de cada columna son los mismos. Alteraron su posición, sí, pero siguen siendo los mismos. Por lo tanto, uno puede conjeturar que las permutaciones de filas con filas y columnas con columnas no alteran los números que figuran en cada una de ellas.

Con este dato nuevo, ahora le pido que se fije nuevamente en el problema original y compare los dos primeros tableros. ¿Le parece que se puede llegar de uno a otro?

La respuesta es que no se puede, porque en el segundo tablero (por ejemplo) el número 7 perdió a sus compañeros de fila. En el tablero inicial, son 5, 6 y 8. En el segundo, son 13, 14 y 16. ¡y esto no pudo haber pasado con los movimientos permitidos!

Por lo tanto, la respuesta es que no se puede pasar de uno a otro, porque con los movimientos permitidos esa configuración es inalcanzable.

Claro, uno podría haber intentado a mano, tratando de ver si se puede o no. Es difícil probar con todas las posibles combinaciones hasta concluir que ninguna lleva a destino. En cambio, una vez que uno detectó que los compañeros de filas y columnas permanecen invariantes por las permutaciones permitidas descubre casi en forma inmediata que la respuesta es negativa: no se puede.

Y justamente eso es hacer matemática, hacer visible lo invisible, modelar y avanzar en direcciones que parecen ocultas, pero la única forma de lograrlo es, como decía más arriba, arremangándose y ensuciándose las manos: la satisfacción llega después.