Julio de 2014. Primera reunión para discutir los programas de Alterados por Pi que vamos a grabar en octubre. Se van a emitir recién en la temporada de 2015, por lo cual parece increíble preparar todo con tanta anticipación. Sin embargo, es lo que venimos haciendo desde hace ya ocho años.

María Marta (García Scarano), la productora general, sufre porque no importa cuándo empecemos. Para ella siempre será muy tarde. Juan Pablo (Pinasco) 1 es quien se ocupa de proveer la primera tanda de contenidos. Me los mandaron hace un par de días y ahora los vamos a revisar y evaluar grados de dificultad e interés. Los vamos a plantear en diferentes escuelas públicas de todo el país y encontrar el material adecuado es siempre un desafío para todos.

Juan Pablo trajo veinticinco problemas para empezar. De ellos, hay uno que me pareció espectacular. No bien lo leí pensé: “Este es un problema precioso para hacer no sólo en Alterados por pi, sino también para publicar en Página/12 y, por supuesto, en alguno de los libros de divulgación de matemática que vienen saliendo todos los años”.

Si logro que se involucre con el problema verá qué interesante es, no sólo por la dificultad en sí misma, sino porque requiere utilizar herramientas que uno posee y ni siquiera lo sabe. Sígame por acá.

Suponga que uno tiene un tablero cuadriculado, como si fuera de ajedrez. Puede ser de 8 x 8 o de 10 x 10. Más aún: ni siquiera hace falta que sea cuadrado. Podría ser rectangular y no importa el número de casillas que tenga. Es decir, el tamaño del tablero no será un factor que determine nada. Dicho esto, imagine que en cada casilla hay una flecha. Esa flecha puede apuntar hacia arriba o hacia abajo, a la derecha o a la izquierda, de manera tal que haya cuatro posiciones iniciales posibles. Lo que sí interesa es saber que todas las casillas tienen una flecha asignada. La idea será hacer un recorrido imaginario por el tablero siguiendo las direcciones de esas flechas.

Pero me falta escribir las reglas. Lo que usted tiene que hacer es:

a) Elegir una casilla cualquiera del tablero desde donde va a empezar.

b) Obedecer la dirección hacia la que apunta la flecha y dirigirse hacia esa casilla contigua.

c) Una vez que llegó a la casilla siguiente, deberá mover la flecha de la casilla de la que partió y rotarla 90 grados en la dirección de las agujas del reloj. Es decir, si estaba apuntando hacia abajo, ahora usted la rota para que apunte hacia la izquierda. Si estaba apuntando hacia la izquierda, usted la rota para que apunte hacia arriba. Si estaba apuntando hacia arriba, usted la rota para que apunte hacia la derecha y por último, si estaba apuntando hacia la derecha, usted la rota para que apunte hacia abajo. Por lo tanto, cada vez que usted abandonó una casilla, la flecha cambiará de orientación en 90 grados, como si usted estuviera apretando un tornillo o usando una llave para cerrar una cerradura, por ejemplo.

d) Por último, si la casilla en la que usted está ubicado es una de las del borde y la flecha está justamente apuntando hacia afuera, entonces usted sale del tablero y se termina el trayecto.

Ahora viene lo mejor. El problema consiste en lo siguiente: elija usted la orientación de las flechas como quiera. Es decir, distribuya las flechas como se sienta cómodo. Elija usted también la casilla desde la que quiere empezar.

Lo extraordinario es que, independientemente de las orientaciones de las flechas y del punto de partida, le aseguro que usted va a terminar saliendo del tablero... inexorablemente.

Parece raro, ¿no? Parecería que uno va a poder elegir orientaciones de las flechas de manera tal de poder permanecer adentro y no salir nunca, como si estuviera dando vueltas y vueltas. Sin embargo, eso no es posible. Le sugiero que lo piense porque el problema es precioso y la solución que yo conozco, es maravillosa también.

Solución

Esta es una idea que sirve para encontrar la solución. Supongamos que lo que yo afirmé más arriba es falso. Es decir, supongamos que usted encontró una forma de orientar las flechas y un lugar en donde empezar de manera tal que por más que sigamos dando pasos y más pasos, uno siempre se queda dentro del tablero. Yo quiero convencerla/o acá de que eso no es posible. ¿Por qué?

El tablero tiene un número finito de casillas. Cuando usted empieza a recorrer su camino, si nunca saliera del tablero, tendría que repetir casillas por las que ya pasó. Tiene que haber por lo menos una casilla por la que usted tiene que pasar “infinitas veces”.

Suponga que llamamos A a un casillero por el que usted pasa una y otra vez reiteradamente. Como hay que cambiarle la orientación a la flecha de A cada vez que usted sale de ella, usted empezará a pasar también –indefinidamente– por las cuatro casillas que son vecinas a A. Y, por supuesto, a esas cuatro casillas también tendrá que cambiarle la orientación a las flechas.

Por lo tanto, en su camino, usted pasará “infinitamente” por A, pero también infinitamente por las cuatro casillas vecinas a A, y, por la misma razón, pasaría infinitamente por las casillas que son vecinas de las vecinas a A. Y así siguiendo.

Con esta idea usted detecta que llegará un momento en el que llegará hasta alguna casilla que está en el borde.

Pero ahora la diferencia está en que si uno pasara infinitamente por una casilla que está en el borde, a lo sumo en la cuarta pasada, la casilla tendrá la flecha apuntando hacia afuera.

No bien eso suceda, usted sale del tablero y listo. Allí se terminó todo.

Usted estará pensando ¿por qué me gustó tanto este problema? Es que si usted piensa bien advertirá que sería imposible imaginar todos los posibles tableros de todas las posibles dimensiones con todas las posibles distribuciones de flechas y todas las posiciones iniciales. Ese conjunto es un conjunto infinito. ¿Cómo hacer para convencerse de que no hay ningún camino que nos mantenga dentro del tablero? Puesto en estos términos, el problema parece inabordable.

Sin embargo, uno termina hilvanando estas ideas:

a) si uno pudiera elaborar un camino que no saliera nunca del tablero, entonces tendría que haber casillas por las que pasa infinitamente;

b) como cada vez que pasa por ellas cambia la orientación de las flechas, inexorablemente se va acercando al borde;

c) una vez que uno descubre que tendría que pasar infinitamente por una casilla que está en el borde, a lo sumo a la cuarta pasada la flecha tendrá que apuntar hacia afuera y allí sale del tablero y se terminó el problema.

Aunque no parezca, una vez más, esto es hacer matemática... y además, buena matemática.

No se me escapa que elaborar una estrategia para salir de un tablero es totalmente irrelevante, pero lo que es no menor es aprender a pensar problemas de este tipo. Muchas veces las variantes y variables involucradas son infinitas o técnicamente inabordables, pero una adecuada demostración por “el absurdo” 2) es una herramienta perfecta que resuelve la cuestión.

1) Doctor en Matemática y profesor del Departamento de Matemática de la Facultad de Ciencias Exactas y Naturales de la UBA, uno de los mejores especialistas argentinos en Teoría de Juegos.

2) Muchas veces, cuando uno tiene que demostrar la validez de una implicación, suele apelar a demostrar la afirmación “contra-recíproca”. Son las que se conocen comúnmente con el nombre de demostraciones “por el absurdo”. Son muy comunes en matemática y créame que sería muy deseable que formaran parte del arsenal lógico con el que una persona enfrenta su vida cotidiana.