Juan Sabia es doctor en matemática. Además, escribe cuentos para niños. Es profesor en Exactas, UBA. Está a cargo de varias clases y cursos en el Ciclo Básico Común. Pero por encima de todo, Juan es una extraordinaria persona que disfruta enseñando y comunicando. Es un gusto ver la forma en la que se relaciona con sus alumnos: con pasión, con dedicación, con interés. Cuando uno escucha: “Uy, si yo hubiera tenido un profesor así en matemática todo hubiera sido distinto”. Bueno, Juan es uno de esos profesores. Juan es un profesor “así”.

Juan (¡qué bueno que se llame Juan, ¿no? Un nombre bien común para una persona que de común no tiene nada), decía, Juan es un enamorado de la matemática recreativa y con el tiempo se ha transformado en una inagotable fuente de problemas para pensar. Acá quiero contar el último que me envió. Tiene un enunciado muy sencillo y no hace falta saber nada. Sólo hay que tener ganas de pensar y de entretenerse en el camino. Voy a reproducir –casi– textualmente lo que me escribió.

“Tengo tres relojes. Uno es eléctrico de pared, con agujas que, cuando hay un corte de energía eléctrica, se detiene. Cuando vuelve la electricidad, vuelve a funcionar.

Por otro lado, tengo un radiorreloj, que a diferencia del eléctrico, se detiene si hay un corte de energía y no vuelve a funcionar salvo que yo lo vuelva a poner en hora. Si no, queda fijo en la última hora que funcionó.

Por último, mi tercer reloj es el que está en el horno a microondas. Es un reloj digital que, cuando hay un corte de luz, deja de funcionar pero cuando vuelve la electricidad arranca nuevamente como si fuesen las 00.00 AM.”

Hechas las descripciones sobre los tres relojes acá va el problema.

“Anoche, antes de acostarme, estaban los tres relojes en hora. Sin embargo esta mañana me desperté exactamente a las ocho de la mañana y pude observar lo siguiente:

a) El reloj de pared decía que eran las 7.45

b) El radiorreloj, que eran las 23.30

c) El reloj del microondas, que eran las 8.00 AM

Si los tres relojes andan bien y se comportan de acuerdo con lo establecido antes, ¿puede ser esto cierto? Si la respuesta es que sí, ¿qué se puede deducir que pasó durante la noche?

Como usted advierte no hay que “saber” nada. Sólo se trata de imaginar posibles escenarios y descubrir si las condiciones en las que Juan dice haber encontrado los relojes a las 8 de la mañana son posibles... o no. Ahora le toca a usted.

Solución

Una de las cosas interesantes que tiene este problema es que uno está acostumbrado a que cuando le plantean algo para pensar, la persona que hace la propuesta conoce la solución. Es decir, cuando uno está en el colegio o incluso en la universidad, el docente suele pedir que uno encuentre la solución a algo que plantea, pero uno asume que ella o él conocen la respuesta. Más aún: uno asume que hay una respuesta.

La diferencia con el problema de los relojes es que uno no sabe si el escenario que plantea Juan es posible o no, y eso ya sitúa la dificultad en un lugar distinto. No estamos muy acostumbrados a pensar así cuando nos educan. Sin embargo, en la vida cotidiana, cuando uno tiene un problema no viene con un “cartel” diciendo “busque la solución porque ‘se sabe’ que existe”. Uno está a ciegas: ¿tiene o no tiene solución el problema? ¿Vale la pena seguir buscando porque uno sabe que la tendría que encontrar, o lo que hay que hacer es pensar por qué el problema no puede tener respuesta?

Antes de avanzar, y como tantas otras veces me apresuro a escribir que si usted lee lo que sigue (y está en todo su derecho de hacerlo) se privará de poder disfrutar de pensar si el problema tiene respuesta o no. Y aunque sea nada más que por eso, ya habrá valido la pena haberle dedicado tiempo.

Ahora sigo con la respuesta.

Pensemos juntos.

Como el radiorreloj marcaba las 23:30, esto indica que la luz se cortó por primera vez a las 11 y media de la noche. Lo que pasó después es irrelevante para este reloj porque ya no volvería a funcionar más.

Por otro lado, como el reloj digital marcaba las 8.00 AM y esto coincidía con la hora verdadera, esto significa que el último corte de luz terminó a las 12 de la noche. La electricidad volvió exactamente a medianoche y no se cortó nunca más. Es por eso que el reloj digital marcaba la hora verdadera.

La pregunta ahora es: ¿qué pasó en la media hora que va entre las 23.30 y las 12 de la noche?

Hasta acá, el único dato que no usé es que el reloj eléctrico marcaba las 7.45 am. O sea, estaba atrasado quince minutos respecto de las 8 de la mañana cuando Juan se despertó.

¿Cómo usar este dato? Escribo ahora algo que pudo haber pasado y después saquemos juntos la conclusión final.

Fíjese si está de acuerdo con esta posibilidad. No digo que haya pasado exactamente esto, pero piense conmigo si es un posible escenario:

a) La luz se cortó por primera vez a las 23.30. Esto ya lo sabíamos. Los tres relojes dejaron de funcionar, obviamente.

b) El radiorreloj no funcionará nunca más, independientemente de lo que suceda de acá en más. Quedará marcando esa hora: las 23.30.

c) El reloj eléctrico queda también con sus agujas indicando las 11 y media (de la noche). En cambio, el reloj del horno de microondas está apagado. No marca nada.

d) A los efectos de sugerirle una idea, supongamos que la luz volvió a las 23.40 y se cortó a las 23.55 otra vez. O sea, hubo luz durante 15 minutos y después se cortó de nuevo.

e) ¿Qué hora marcaba el reloj eléctrico cuando se cortó la luz por segunda vez? (piénselo usted). Sigo: el reloj eléctrico marcaba las 23.45. ¿Por qué? Porque como hubo luz por 15 minutos (de 23.40 a 23.55), entonces, partiendo desde las 23.30 (como habían quedado las agujas cuando se cortó la luz por primera vez), el reloj eléctrico llega hasta las 23.45. Allí la luz se corta otra vez.

f) El reloj digital había reanudado su marcha otra vez desde 00.00 a las 23.40 y llega a marcar 00.15 (ya que funcionó nada más que 15 minutos). A las 23.55 se vuelve a apagar.

g) El radiorreloj nunca más volvería a funcionar por lo que en esos 15 minutos siguió marcando las 23.30.

h) Ahora, el paso final. Supongamos ahora que el segundo corte duró 5 minutos. La luz estuvo interrumpida entre 23.55 y 24.00 (o la cero hora del día siguiente). Cuando vuelve la luz, el reloj digital empieza a funcionar desde 00.00 y a las 8 de la mañana exhibe la hora correcta

i) El radiorreloj no produce modificaciones: sigue estando detenido en las 23.30 (como ya sabíamos).

j) Por último, el reloj eléctrico, que a las 23.55 mostraba las 23.45, arranca a la medianoche y funciona ininterrumpidamente por ocho horas. Pero como empezó desde las 23.45, ocho horas más tarde, muestra 7.45 (AM)

¿Cuál es la conclusión? El ejemplo que yo puse es –obviamente– arbitrario. En todo caso, lo que sirve es para mostrar que el escenario que está planteado en el problema ¡es posible!

Ahora bien: el caso que yo planteé ¿es lo único que pudo haber pasado?

Respuesta (que espero que saque usted): ¡Por supuesto que no!

Pudieron haber pasado muchísimas otras cosas, muchísimas otras variantes. La luz pudo haberse cortado muchísimas veces en esa media hora, pero lo que seguro tuvo que haber pasado es que tiene que haber habido eletricidad exactamente quince minutos. Eso sí que es no negociable, porque el reloj eléctrico solamente funcionó quince minutos.

El número de veces que se cortó la luz, las horas exactas en lo que eso sucedió, termina siendo irrelevante. Lo único que importa es que hubo electricidad durante exactamente quince minutos en esa media hora.

Y eso termina por resolver el problema. Espero que usted coincida conmigo en que es un problema precioso que no requiere de saber nada. Sólo se trató de pensar. ¿No era esa la idea? Y una vez más, todo esto que hicimos más arriba, es hacer matemática.

Eso sí y como final, quiero cambiar el “así” por “Juan” en la frase que escribí más arriba. Ahora hay que leer: “Uy, si yo hubiera tenido un profesor como Juan en matemática, todo hubiera sido distinto”. Agrego yo: “verdad”.