Estábamos grabando un capítulo de Alterados por Pi en Santiago del Estero. El auditorio se llama Forum, un lugar fascinante, posiblemente de los mejores que hay en el país. En una vieja estación de tren, los santiagueños diseñaron y construyeron un lugar espectacular. Es posible adaptar el salón para que pueda albergar casi 3 mil personas, pero al mismo tiempo el lugar es tan dúctil que se lo puede dividir en varias salas con capacidades mucho menores y sin por eso perder calidad acústica.

El interés que había en la ciudad capital fue tan grande, que la propia ministra de Educación se acercó para tratar de resolver los problemas que teníamos previstos para los programas que habríamos de grabar allí.

En ese marco, antes de que yo subiera al escenario que estaba especialmente preparado, discutíamos con Cristian y María Marta (1) cómo empezar. No recuerdo quién de los dos me dijo: “¿Pensaste alguna vez cuánto tiempo llevaría mezclar un mazo de cartas si uno quisiera pasar por todas las distintas posibilidades en las que los naipes pueden ordenarse?”.

Mi respuesta fue inmediata: “Sí, muchas veces. El factorial de un número crece muy rápido y por lo tanto ni siquiera vale la pena hacer las cuentas”.

Allí fue donde Cristian saltó y me dijo: “Mirá, tomá las 12 cartas de un solo palo, digamos las doce cartas de oro. Suponé que las vamos a ordenar de todas las formas posibles y suponé además que vamos a tardar nada más que un segundo en cambiar de una forma a la otra. ¿Sabés cuánto tiempo nos llevaría?”.

Esa breve charla disparó mi curiosidad. Puesto en los términos que me planteó Cristian creo que sí vale la pena detenerse un instante y hacer las cuentas pertinentes. Sígame por acá y acompáñeme hasta el final para que podamos sacar una conclusión que –creo– la (o lo) va a sorprender.

En principio, no voy a definir acá el “factorial” de un número porque ya lo hice reiteradas veces, pero en todo caso, sólo para refrescar la idea, el factorial de un número entero positivo cualquiera n se obtiene multiplicando todos los números que van “desde n hasta 1” en forma decreciente. Es decir, el factorial de los primeros números resultan ser los siguientes:

2! = 2 x 1 = 2

3! = 3 x 2 x 1 = 6

4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24

5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120

6! = 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 720

En general,

n! = n x (n1) x (n2) x ... x 4 x 3 x 2 x 1

¿Por qué hablo del factorial de un número? En todo caso, ¿qué mide el factorial de un número? El factorial cuenta todas las formas en las que se pueden permutar los elementos de un conjunto. Es decir, si uno tiene tres cartas, el factorial de 3, que es igual a 6, dice que hay seis formas de poder ordenarlas, y se escribe: 3! = 6. Por ejemplo, si uno tiene el 4, 5 y 6 de oro, los puede ordenar de estas seis formas:

456
465
546
564
645
654

Justamente, el factorial de tres (y se escribe 3!) sirve para contar todas las posibilidades sin tener que escribirlas todas.

Si uno tiene 10 cartas, entonces hay 10! = 3.628.800 permutaciones distintas para ordenarlas. Es decir, este número, 3.628.800, indica que hay más de 3 millones y medio de maneras diferentes en las que uno puede mezclar un mazo de 10 cartas nada más.

Esto ya da una idea de lo rápido que crece el factorial a medida que uno va incrementando el número n.

En el caso que nos ocupa, si uno tiene 12 cartas, el factorial de 12 servirá para determinar cuántas formas posibles hay de mezclar esas doce cartas:

12! = 12 x 11 x 10 x 9 x 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 479.001.600

Es decir, hay casi 480 millones de formas de ordenar 12 cartas... ¡una barbaridad!

Y acá llega un punto muy interesante: si uno tardara un segundo en ir cambiando de un orden a otro y no hiciera ninguna otra cosa más en su vida hasta recorrerlos todos, le llevaría... ¡más de 15 años! hacerlo.

Me quiero permitir hacer un par de observaciones más, siempre alrededor del factorial. Si uno tuviera las 24 cartas de dos de los palos, el factorial del número 24 (y le sugiero que verifique usted las cuentas) es:

24! = 172.346.778.259.233.000.000

Luego, si usted quisiera ordenarlas de todas las formas posibles y tardara nada más que un segundo para cambiar de un orden a otro, le llevaría más de 196 billones (sí, billones) de siglos en hacerlo. El número exacto de años es:

19.674.289.755.620.200.

Luego, si uno lo divide por cien para descubrir el número de siglos, ahora el número se reduce (¿?) a:

196.742.897.556.202

Ahora sí, lo prometido más arriba. Como usted advierte, en general uno juega a las cartas con más de 24 naipes. Los mazos suelen tener 40 cartas (si uno juega al truco o a la escoba de 15, por ejemplo) o 54 si uno juega al chinchón (contando los comodines).

Supongo que si usted llegó hasta acá en el texto, se da cuenta de lo que habría de pasar si uno tiene, digamos, las 40 cartas con las que jugamos al tute o al truco.

Cuando uno le pide a una persona que participa del juego... “mezclá”, no tiene idea de que esas 40 cartas pueden quedar ordenadas de

815.915.238.247.898.000.000.000. 000.000.000.000.000.000.000.000

formas, lo que significa que si uno tardara –igual que antes– nada más que un segundo en pasar de una configuración a otra, tardaría:

¡25.872.503.908.165.200.000.000.000.000.000.000.000.000 años!

Dicho esto, ¿no le parece que habiendo tantas posibilidades, es muy poco probable que ni usted ni yo hayamos jugado dos veces a cualquier juego con el mismo mazo de cartas (me refiero a los órdenes posibles)?

¿Cuál es la probabilidad que al mezclar un mazo de cartas, usted o yo hayamos jugados dos veces con la misma distribución? Bajísima. Y me apuro a escribir también que es muy poco probable que aun juntando todos los partidos que jugó usted, yo, y todas las personas que conocemos ambos, haya habido dos mazos que estuvieran ordenados de la misma forma.

Creo que cuando uno juega a las cartas, no tiene noción (y creo que al final no tiene importancia) de la cantidad de órdenes posibles en los que los naipes pueden terminar de ubicarse después que uno los mezcla. ¿O usted sí sabía?

(1) María Marta García Scarano es (y ha sido) la productora general de todos los programas que hemos grabado de Alterados por Pi. Llevamos nueve temporadas y su participación y presencia han sido esenciales para lo que hacemos. Por su parte Cristian ha sido alumno mío en el año 1996 y hoy es uno de los contenidistas del programa junto con el invalorable aporte de Juan Pablo Pinasco. A los tres les guardo un afecto muy especial. Es posible que sin ellos se hubieran podido hacer estos programas, pero sin ninguna duda la calidad no habría sido la misma. En sus funciones, son únicos.