A esta altura de la vida, supongo que usted y yo ya debemos haber visto y/o leído muchísimos problemas lógicos que involucran sombreros. Yo mismo ya debo haber escrito al menos una docena. Sin embargo, siempre aparece alguno distinto, alguno que me llama la atención porque le agrega “algo” que no había planteado en los casos anteriores. De hecho, me había comprometido (conmigo mismo) a no agregar ninguno más, salvo que contuviera algo distinto de lo que escribí hasta acá. Así fue como apareció el problema que aparece más abajo y le sugiero que –si tiene cinco minutos libres– los pueda dedicar a pensarlo. Acá va.

Hay cuatro personas (A, B, C y D) que están haciendo una cola para comprar entradas para el cine. Fíjese cómo es la configuración geográfica mirando la figura.

El lugar es muy angosto y por lo tanto, solo B, C y D (los tres más cercanos a la boletería) aparecen uno detrás de otro. Como la cola da vuelta al llegar a la esquina, la persona que llamé A solamente puede ver al que llamé B, mientras que B puede ver a C y D; C puede ver solo a D; y D no ve a ninguno de los otros tres.

Supongamos ahora que tenemos cuatro sombreros: dos blancos y dos negros.

Tome usted los cuatro sombreros y distribúyalos de la forma que quiera, de manera tal que ninguno de los cuatro pueda ver qué color de sombrero usted les asignó.

Cuando haya terminado, yo voy a ir preguntando a cada uno si saben qué color de sombrero tienen. Voy a ir en orden: al primero que le voy a preguntar es a A, después a B, tercero a C y luego a D. Todos pueden escuchar las respuestas de todos.

Ahora viene lo interesante. Fíjese si usted puede detectar cuál de los cuatro es “diferente” que el resto. ¿En qué sentido? En el siguiente: cuando llegue a esta persona, si él (o ella) puede contestar, entonces los otros tres podrán deducir lógicamente qué color de sombrero tienen.

Pero hay más: si al llegar a esta persona sucede que él (o ella) no puede contestar, entonces esto también les permitirá deducir a los otros tres qué color tiene cada uno.

Dicho de otra forma, hay uno de las cuatro personas que tiene la siguiente facultad: si contesta, los otros tres también podrán. Y si no puede contestar, los otros tres sí podrán.

¿Cuál de los cuatro es y explicar(se) por qué? Ahora le toca a usted. Yo sigo más abajo.

Respuesta

Empecemos analizando lo que le sucede a A. ¿Hay alguna distribución posible de sombreros que le permita a A saber qué color de sombrero tiene cuando yo le pregunte primero?

La respuesta es que no. ¿Por qué? Es que como A solamente puede ver el color de sombrero de B y todavía ninguno de los otros tres dijo nada que lo pudiera ayudar, entonces no le queda otra alternativa que la de quedarse en silencio. Conclusión: A no tiene esa facultad.

¿Qué sucede con B? Fíjese que pueden suceder dos cosas: o bien C y D tienen sombreros del mismo color (no importa si son blancos o negros) o bien tienen sombreros de colores distintos. Esto, que parece una obviedad, es determinante para la solución. Veamos.

Supongamos entonces que C y D tienen el mismo color de sombrero. Esto le sirve a B para deducir que tiene el otro color. Pero a partir de acá, pueden contestar los otros tres. Cuando B dice su color, A sabe que él también tiene el mismo, y tanto C como D tienen el contrario de A y B.

Ya sabemos entonces que si B puede contestar los otros tres también. ¿Quiere seguir pensando usted sin leer el texto? Igualmente, yo sigo.

La otra alternativa que me queda por analizar surge si B no pudiera contestar mi pregunta.

Para que eso suceda es porque C y D tienen colores distintos. Pero este dato es determinante –otra vez– para que puedan contestar los otros tres. ¿Por qué? Es que A, cuando advierte que B no puede contestar, es porque está viendo que C y D tienen colores diferentes. Pero como A sí puede ver el sombrero de B, entonces sabe que o bien C o bien D tienen el mismo color (que B), y luego A, tiene el otro que queda.

Por ejemplo: supongamos que B ve que C tiene el color blanco y D tiene el color negro. En este caso, B no puede contestar y se queda callado. Esto le indica a A que C y D tienen colores diferentes. Pero la diferencia es que A ve el color de B (digamos que B tiene color negro). En ese caso, A tiene que tener sombrero de color blanco.

Lo relevante es que el silencio de B le permite a A deducir qué color tiene. Ni bien A dice su color, entonces B sabe que tiene el color diferente al de A. Y a partir de acá todo es sencillo, porque B dice su color, C ya sabe que tiene un color diferente al de D y como lo está viendo lo puede deducir, y D dice el color que resta.

Este análisis permitió deducir que B tiene la facultad de la que hablaba al principio del problema: si B contesta, todos están en condiciones de inferir qué color tienen y lo dicen. Pero, si B no puede contestar, entonces A sabe qué color tiene y a partir de allí los otros también.

Así como está planteado el problema, nunca se llegaría a la instancia en la que tengan que ser C o D los primeros en contestar. Cualquiera sea la distribución de sombreros, alguno de los dos primeros (B o A) tuvo que haber hablado antes.

Reflexión final

¿Cuál es el objetivo de plantear un problema de este tipo? No crea que yo supongo que cada uno de nosotros en la vida cotidiana está tratando de deducir qué color de sombrero tiene puesto en función de los colores que tengan otras personas. No, no es así. Si llegara el caso en el que importa el color de sombrero que uno lleva puesto, uno ¡se lo saca y mira!

Sin embargo, ser capaz de hacer análisis de este tipo suele cooperar para avanzar en situaciones en donde los datos parecen insuficientes y uno cree que necesita buscar más información de la que es verdaderamente necesaria. En definitiva, ser capaz de hilvanar ciertos argumentos en forma lógica es lo que nos permite imaginar diferentes escenarios y tener previstos planes A o B o C.

Es que en la vida real, o bien uno no está usando un sombrero o bien el contexto no permite que uno se lo saque y mire de qué color es.