El siguiente problema tiene la particularidad de que pone a prueba nuestra capacidad para pensar distinto. Es decir, usted verá que el enunciado es sencillo y su solución también. Sin embargo, el desafío es tratar de no hacer cuentas en forma bruta, sino en pensar alguna alternativa que, justamente, evite tener que embarrarse las manos.

Aquí, una pausa: cuando uno tiene un problema, lo que quiere es encontrar una solución. Si en el proceso se tiene que ensuciar las manos o lo que fuere, no tiene importancia. Una vez que uno lo resuelve, listo. Sin embargo, hay veces que mirar las cosas desde otro costado, y usar la capacidad para razonar, sirve para ahorrar tiempo y enfrentar dificultades con otra actitud. Acá va.

En un torneo de tenis, se inscriben 128 participantes.

Como es bien sabido, se juega por simple eliminación. Es decir: el jugador que pierde un partido, queda eliminado.

La pregunta es: ¿cuántos partidos se jugaron en total hasta definir el campeón?

Solución

La tentación que uno tiene es de dividir el número de participantes por dos, con lo que quedan 64 partidos para la primera ronda. Como se elimina la mitad de ellos quedarán, después de esos 64 partidos, 64 competidores. Luego, los dividimos en dos otra vez y tendremos 32 partidos. Y así siguiendo. Resultaría que uno tiene que sumar la cantidad de partidos hasta llegar al partido final.

Pero le propongo pensar el problema de una forma distinta. Como hay 128 participantes, para que uno quede eliminado tiene que perder un partido. Nada más que uno. Pero tiene que perderlo. Luego, si hay 128 participantes al comienzo del torneo y al final queda uno sólo (el campeón, el único que no perdió ninguno de los partidos que jugó), esto significa que los restantes 127, para haber quedado eliminados, tienen que haber perdido exactamente un partido. Y como en cada partido siempre hay exactamente un ganador y un perdedor, lo que inevitablemente pasó es que tuvieron que jugarse 127 partidos para que quedaran eliminados todos y quedara uno solo, que fue el único que los ganó todos.

Moraleja: se jugaron exactamente 127 partidos.

Si lo hubiéramos hecho de la otra forma, el resultado es (obviamente) el mismo: 64 partidos en la primera ronda, 32 después, 16 en los dieciseisavos de final, 8 en los octavos de final, 4 en las cuartos de final, 2 en las semifinales y 1 en la final. Si uno suma todos estos partidos:

64 + 32 + 16 + 8 + 4 + 2 + 1 = 127

Nota: en el caso de ser únicamente 128 participantes, es fácil ir sumando o haciendo la cuenta. Pero la idea anterior serviría en el caso de que hubiera habido 1024 participantes, en cuyo caso el total de partidos a jugarse sería de 1023.

¿Se entiende por qué?