EL TETRAEDRO

¿Por qué el tetrabrik se llama así? “Brick” quiere decir ladrillo y, efectivamente, algunos de estos envases tienen la forma y el tamaño de un ladrillo. Pero “tetra” quiere decir cuatro. ¿Cuatro qué?

a. Las paredes del envase están formadas por cuatro capas de papel, cera, aluminio y polietileno.

b. Originalmente, el envase se usó para una mezcla de cuatro jugos de frutas, llamado Tetra-juice.

c. Originalmente, el envase tenía cuatro caras.

En realidad, el material de los tetrabriks consiste en cinco o más capas de distintos tipos de papel, aluminio y polietileno. Y su primer uso fue para envasar leche. La respuesta correcta, por lo tanto, es la “c”: originalmente, este envase tenía forma de tetraedro. Es decir, de pirámide de cuatro caras triangulares. Fueron creados en 1951 por la empresa sueca Tetrapak. En la Argentina los conocimos como “cartones” y se usaban especialmente para leche. Fueron muy populares en la década de 1960.

Un envase con forma de tetraedro es muy poco práctico por dos razones. Por un lado, no se puede apilar, como sí ocurre con las cajas rectangulares o las latas cilíndricas. Por el otro, tiene poca capacidad en relación con su tamaño. Por ejemplo, una caja cúbica de diez centímetros de lado tiene una capacidad de mil centímetros cúbicos (un litro) y una lata cilíndrica de diez centímetros de diámetro y otro tanto de altura tiene una capacidad de tres cuartos de litro. En cambio, un tetraedro de diez centímetros de lado tiene una capacidad de apenas 120 centímetros cúbicos.

Sin embargo, los tetrabriks originales tenían una ventaja: se podían fabricar con relativa facilidad aplastando convenientemente los extremos de un tubo cilíndrico. A pesar de eso, no se popularizaron definitivamente hasta que se los pudo producir con forma rectangular. Hoy los envases tetraédricos persisten como una curiosidad geométrica en unos cuantos productos.

LA CINTA DE MOEBIUS

Una tira de papel tiene dos caras. Si unimos los extremos para formar una faja circular, esta faja también tendrá dos caras: una cara interna y otra externa. Pero, si antes de unir los extremos, retorcemos la cinta media vuelta, ambas caras formarán una única superficie. El resultado será una cinta de Moebius, una figura con una sola cara. Debe su nombre a August Ferdinand Moebius, un matemático y astrónomo alemán que la creó, e investigó sus propiedades, hacia 1858, junto con su compatriota Johann Benedict Listing (pero nadie habla de la cinta de Listing).

Una superficie con una sola cara recuerda al disco de Odín que, según el cuento de Jorge Luis Borges, convertía en rey a su poseedor y que, por haber caído con su única cara hacia abajo nunca más se pudo encontrar. Pero la cinta de Moebius no tiene nada de mágico ni de poderoso. Es sólo una figura cuya única cara, si queremos pintarla de verde del lado de afuera y de rojo del lado de adentro, no podemos porque no hay una cara interior y otra exterior. Hay una única cara que, a lo largo de la cinta, pasa del lado de afuera al de adentro y viceversa.

Aunque no es mágica, la cinta de Moebius es lo suficientemente curiosa como para inspirar a muchos artistas. El caso más conocido es el del holandés M. C. Escher, muchos de cuyos grabados muestran cintas de Moebius de diversos estilos. La cinta también fue usada en la literatura, el cine y hasta las historietas. El escritor y astrónomo norteamericano Armin Deustch es el autor de “Un subterráneo llamado Moebius”, un cuento en el que sugiere que una red ferroviaria de gran complejidad puede adquirir propiedades extrañas análogas a la de una cinta de Moebius. La película Moebius, del director argentino Gustavo Mosquera, está basada en ese cuento. En El profesor no-lateral, el especialista en acertijos y matemática recreativa Martin Gardner va un paso más allá de la cinta de Moebius e imagina una superficie sin caras. Y en Los alucinados (Correrías de Patoruzito, número 176) Isidorito recurre a la cinta de Moebius para asombrar a los peones de la estancia.

La cinta de Moebius tiene también algunas aplicaciones prácticas. De hecho, todos nosotros la hemos usado, directa o indirectamente: las cintas de las impresoras de matriz de puntos están retorcidas como cintas de Moebius para aprovechar toda la superficie entintada de la cinta original. Hace bastante tiempo que estas impresoras desaparecieron de hogares y oficinas, reemplazadas por impresoras láser o de chorro de tinta. Pero, junto con sus entintadas cintas de Moebius, siguen usándose en muchos lugares, como las cajas de los supermercados.

LA BUCKYBOLA

La geometría enseña que solamente hay cinco sólidos regulares, cinco cuerpos geométricos donde todas sus caras son polígonos también regulares e iguales entre sí. Además del tetraedro y el cubo están el octaedro (formado por dos pirámides unidas por sus bases cuadradas), el dodecaedro (una especie de pelota con doce caras pentagonales) y el icosaedro, formado por veinte caras triangulares.

Pero hay otros cuerpos que, aunque no tienen todas sus caras iguales, tienen una forma aproximadamente regular. Por ejemplo, si le cortamos las puntas a un icosaedro, las caras triangulares se convierten en hexágonos y cada vértice se convierte en un pentágono. La figura que resulta es mucho más esférica que el icosaedro original. Tiene veinte caras hexagonales, doce pentagonales y sesenta vértices. Esta figura se conoce como buckybola, porque su forma recuerda las cúpulas geodésicas diseñadas por el ingeniero norteamericano Richard Buckmister “Bucky” Fuller.

En 1985, cuatro químicos de la Universidad de Rice, en Texas, sintetizaron una molécula esférica formada por sesenta átomos de carbono acomodados en los vértices de una buckybola. Lo llamaron buckmisterfullero, o simplemente fulereno, de nuevo en honor a Buckmister Fuller y por la terminación estándar de los compuestos de carbono.

Los fulerenos tienen diversas aplicaciones médicas e industriales. Por ejemplo, pueden usarse para enjaular marcadores radiactivos y luego llevarlos al interior del organismo. Además, protegen en su interior otras moléculas que se degradarían en condiciones normales. Los nanotubos, fibras de carbono muy delgadas y resistentes, se rematan en sus extremos con tapas semiesféricas, equivalentes a medio fulereno.

Aunque los fulerenos son mucho más raros que los tetrabriks y las cintas de Moebius, las buckybolas están entre nosotros desde hace mucho tiempo: aproximadamente desde 1970, las pelotas de fútbol tienen exactamente la estructura de las buckybolas, con sus doce parches pentagonales y veinte hexagonales.