Tome un libro cualquiera. Fíjese en la parte de atrás (o algunas veces en alguna de las primeras páginas pares). Usted va a encontrar un número como el siguiente:

1-84046-637-5

Este número o código se llama ISBN, o sea (International Standard Book Number), es decir, un número que internacionalmente se asocia con el libro).

Esta sucesión de diez dígitos identifica al libro. Bárbaro. Pero ¿qué más? Uno podría decir que el primer dígito (o los primeros) identifica(n) el país de origen, que los siguientes indican la editorial, el título, la edición, etc. Y esto estaría bien. Pero aún no sería suficiente para merecer un comentario aparte. Lo notable es que el ISBN tiene propiedades escondidas que lo hacen muy interesante. Más aún: no todos los números de 10 cifras pueden ser códigos ISBN válidos.

Olvídese de los guiones que separan los dígitos. Hagamos de cuenta que el número es:

1 8 4 0 4 6 6 3 7 5

Uno los pone en una columna y agrega, en otra columna, los números del 1 al 10. Y los aparea (o sea, los va poniendo en el mismo renglón), y se obtiene entonces, la siguiente situación:

1 1

8 2

4 3

0 4

4 5

6 6

6 7

3 8

7 9

5 10

Una vez hecho esto, multiplique los números de cada renglón. Se tiene los siguientes resultados que ponemos en una tercera columna.

1 x 1 = 1

8 x 2 = 16

4 x 3 = 12

0 x 4 = 0

4 x 5 = 20

6 x 6 = 36

6 x 7 = 42

3 x 8 = 24

7 x 9 = 63

5 x 10 = 50

Luego, sume los valores de la última columna. En este caso, se obtiene el número 264.

Ahora, una breve pausa. Acá aparece la clave de lo que estamos haciendo. ¡Este número tiene que ser siempre un múltiplo de 11!

Y lo es. Justamente 264 = 11 x 24.

Supongamos que alguien quiere encargar libros para una biblioteca o para una librería. El pedido no lo hace basado en los títulos, ni en los autores, sino en el ISBN que cada uno tiene asignado.

Si por alguna razón, al hacer la operación que figura más arriba (de aparear los dígitos que aparecen en el ISBN y luego multiplicarlos) el número resultante no es un múltiplo de 11, entonces eso implica que se produjo un error en el código ISBN que esa persona envió.

Vale la pena que usted pruebe con cualquier libro que tenga en su casa o en su poder. Haga la cuenta y descubra usted mismo que lo que leyó hasta acá se verifica en la realidad. Con este proceso verdaderamente simple una persona (o una computadora) detecta inmediatamente el error en el pedido.

Surgen varias preguntas: ¿por qué tiene que ser un múltiplo de 11? ¿Hay “algo” en el número 11 que lo haga diferente? La respuesta es sí. Hay razones para haber elegido al número 11. En principio, porque es un número primo. Pero, además, tome cualquier par de dígitos distintos (los dígitos son los números 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9). Ahora, réstelos. Nunca puede dar un múltiplo de 11 (¿se da cuenta por qué?). Y eso también terminará siendo importante, como verá más adelante si sigue leyendo.

Un agregado interesante más. Uno de los problemas más comunes al escribir números de varios dígitos son las permutaciones o transposiciones. Es decir, es muy común que uno quiera escribir el número

3759

y sin embargo, escriba

3579,

porque uno conmutó los dígitos 7 con el 5.

Lo curioso, e interesante a la vez, es que el código ISBN permite descubrir en dónde puede estar el error, si es que uno produjo una transposición al enviar el ISBN de un libro.

Primero, un ejemplo. Supongamos que el código ISBN que uno quiere mandar es:

1 8 4 0 4 6 6 3 7 5

pero comete un error, y transpone el 4 con el 8 en el segundo y tercer dígito. Es decir, un escribió por error el número:

1 4 8 0 4 6 6 3 7 5.

Al hacer el apareamiento y multiplicación, como vimos más arriba, el número que resulta (y lo invito a que haga la cuenta solo/a) ahora, no es un múltiplo de 11. Es decir, con el ISBN correcto la suma de los números de la tercera columna resulta ser 264, que es un múltiplo de 11. En realidad,

264 = 11 x 24

En cambio, si uno suma los números de la tercera columna en el caso equivocado, obtiene el número

268

que no es un múltiplo de 11. Entonces, ya sabe que hay un error. Y éste es un avance no menor: usted ya sabe entonces que la persona que envió la lista de libros se equivocó en este seguro. Y eso uno lo sabe porque no le dio un múltiplo de 11. Ahora bien: ¿puede avanzar más? ¿Puede detectar en qué lugar se produjo el error y repararlo? ¿Habrá sido una permutación de dos dígitos?

Veamos. Al encolumnar los números ahora con los números transpuestos, aparece

1 x 1 = 1

4 x 2 = 8

8 x 3 = 24

0 x 4 = 0

4 x 5 = 20

6 x 6 = 36

6 x 7 = 42

3 x 8 = 24

7 x 9 = 63

5 x 10 = 50

Ahora, el total, es 268. Es decir, cuatro más que con el número correcto. Todo lo que hay que hacer ahora es fijarse en la primera columna y descubrir en qué lugar (o lugares) hay una diferencia de cuatro entre dígitos sucesivos y uno puede, entonces, intentar corregir el error. En este caso, habría dos posibles lugares: entre el segundo y el tercero (intercambiar el 4 con el 8, que es lo que habría que hacer para reparar el problema), o intentar con cuarto y quinto renglón. En este caso, uno tendría que intercambiar el cuatro con el cero. Uno produce esos cambios. Se fija si en la tercera columna, cuando usted suma, el número que resulta es –ahora sí– múltiplo de 11. Si no lo es, descarta el cambio y el sistema no le sirvió para descubrir el error. Si en cambio, el resultado sí es un múltiplo de 11, entonces trata de verificar si con ese cambio el ISBN ahora sí corresponde a algún libro que usted tenga en el stock.

En general, este tipo de códigos que sirven para detectar errores, se llaman –en inglés– “error detecting codes”.

Como se ve entonces, ese número tan ingenuo al que uno nunca le presta atención, el ISBN, permite no sólo clasificar todos los libros que se imprimen en el mundo, sino que con una adecuada utilización de la matemática es posible detectar (entre otras cosas) errores en los potenciales pedidos que hagan librerías o bibliotecas.