¿Qué es el azar?

Si yo le pidiera que definiera lo que significa el “azar”, ¿qué diría? No se apure en leer lo que sigue. Trate de pensar qué es lo que usted cree que es el azar. En todo caso, la/lo estoy invitando a reflexionar. Es una palabra muy conocida (y usada) por todos, pero no estoy tan seguro de que tengamos una buena definición de lo que es. No pretendo replicar acá algo que se puede buscar en cualquier enciclopedia, diccionario o en Internet, pero sí quiero compartir algunas experiencias para mostrar cómo la percepción que tenemos los humanos de lo que es el azar no necesariamente es uniforme o universal.

Voy a empezar con un experimento que realizó el Dr. Theodore P. Hill, profesor en el Instituto de Tecnología de Georgia 1. Hill les pidió a los estudiantes de matemática de su curso que hicieran el siguiente trabajo en sus casas: “Tomen una moneda y arrójenla al aire 200 veces. Anoten la sucesión de resultados que van obteniendo (en caras y cecas, obviamente). Sin embargo, si no tienen ganas de arrojar la moneda al aire, me alcanza con que pretendan que lo hicieron, y anoten lo que les parece que podría darles”.

No parecía una tarea muy difícil. Al día siguiente, los alumnos entregaron hojas con las sucesiones de caras y cecas que cada uno había obtenido. Hill los fue nombrando a uno por uno mientras leía el papel que le habían entregado y casi sin error podía detectar quién había hecho el experimento tirando la moneda al aire 200 veces y quién no. ¿Cómo podía saber? Antes de avanzar, está claro que cualquier sucesión que le fuera entregada es una sucesión posible de 200 resultados posibles entre caras y cecas. Pero lo que sucede es que hay ciertos patrones que es muy probable que aparezcan al arrojar verdaderamente una moneda –que no son los que uno esperaría– y por lo tanto los alumnos que inventaban el resultado no los incluían. De esa forma, se estaban –casi– autoincriminando.

¿A qué me refiero? Yo voy a escribir acá abajo dos sucesiones de 100 2 tiradas. Una la inventé yo 3 y la otra se corresponde con un experimento real. Usé números 1 para indicar cada vez que salía cara y 0 para ceca. Acá van:

Mírelos con detenimiento y decida cuál le parece que es la “falsa”. Antes de dar la respuesta, quiero escribir una explicación que dio Hill en ese mismo artículo: “La gente, en general, no tiene idea de lo que significa el azar. Por lo tanto, cuando tiene que inventar datos, lo hacen de acuerdo con su creencia o percepción. En consecuencia, como es tan fácil errar en lo que es azaroso, también me resulta fácil a mí descubrir quién en realidad se tomó el trabajo de hacer el experimento, y quién, en su defecto, eligió imaginarlo”.

¿Por qué? ¿Cómo sabía Hill cuál era cada una? ¿Le alcanzó a usted con mirar las dos secuencias que figuran más arriba para sacar alguna conclusión? Lo más probable es que no, pero ahora quiero usar las probabilidades para socorrerlo. Una característica interesante (y muy utilizada en la vida) son las “rachas”. Es decir, muchos “ceros” o muchos “unos” seguidos. Pensando en estas rachas, voy a contar cada una que aparece en las dos sucesiones de más arriba. Por ejemplo, como la primera empieza con 10001 10010 10101 10110... entonces, la “sucesión de rachas” empieza así: 13221111112... ya que primero hay un “uno” solo, después le siguen tres “ceros”, después dos “unos”, y así siguiendo. Luego, fíjese ahora en lo que resulta escribir las dos secuencias de rachas:

Mirando ahora estas dos últimas tiras de números, ¿cuál le parece más factible de ser la verdadera y cuál la falsa? Por ejemplo, la tira de abajo contiene dos números 6 y dos números 5. Eso se corresponde a que en algún momento del proceso o bien salieron 6 caras o 6 cecas seguidas, y en otra oportunidad, 5 caras o 5 cecas seguidas. En cambio, en la primera tirada, eso no sucedió.

Justamente, estoy ahora en condiciones de preguntarle: ¿Usted diría que es alta o baja la probabilidad de que aparezcan o bien seis o más caras consecutivas o bien seis (o más) cecas consecutivas?

Intuyo su respuesta: “la probabilidad es bastante baja”. Es muy posible que ni usted ni yo sepamos cómo explicar esto, pero la intuición que tenemos nos hace sospechar que seis o más caras o cecas consecutivas es poco probable que sucedan en 100 tiradas. ¿Está de acuerdo conmigo en esto? ¿O usted contestó algo diferente?

Lo notable es que la probabilidad de que esto suceda es mucho más alta de lo que uno supone. La teoría indica que la probabilidad de tener rachas de 5 en una tirada de 100 monedas es casi un 81 por ciento, de rachas de 6 un 55 e incluso las rachas de 7 son bastante probables: casi un 33 por ciento (una tercera parte de las veces).

La teoría de probabilidades muestra también que, si uno tira una moneda 354 veces, la probabilidad de que aparezcan 10 caras o 10 cecas seguidas es mayor que 1/2 (más que un 50 por ciento de posibilidades). Después de 512 tiradas, ese porcentaje aumenta a un 63 por ciento. Y por último, si uno tirara una moneda 3550 veces las posibilidades de que salieran 10 caras o 10 cecas seguidas es de un 99,9 por ciento. Más aún: con 3550 tiradas, hay un 50 por ciento de chance de que estas rachas de 10 seguidas (caras o cecas) se reproduzcan al menos 5 veces.

Por eso, cuando uno va a un casino y le dicen que en cierta mesa donde se está jugando a la ruleta salió cinco o seis o siete veces seguidas el color negro, uno tiene la tendencia de intuir que “ahora le toca al colorado”. De hecho, cada tirada es independiente y por lo tanto lo que pasó antes es irrelevante. Sin embargo, con el afán de creer que uno es capaz de predecir el tal azar, somos capaces de no utilizar los métodos a nuestro alcance (la teoría de probabilidades por ejemplo) para tomar una decisión más educada. Y piense que en un casino las ruletas funcionan muchas horas seguidas.

Por último, situaciones como las que figuran más arriba son las que usan aquellos que estudian a los que quieren fraguar datos impositivos o fraudes equivalentes. Quien tiene un ojo entrenado y “sabe” lo que esperar, es capaz de sospechar o detectar quiénes son los que entregan una declaración viciada y quiénes no, y como siempre la matemática tiene mucho para decir y enseñar al respecto 4.

1 La difusión pública y masiva de la experiencia la hizo Malcolm W. Browne en un artículo que publicó el 4 de agosto de 1998 en el New York Times.
2 Elijo 100 tiradas en lugar de 200 simplemente por razones de espacio.
3 La idea de hacer esta presentación del problema les pertenece a Pablo Milrud y Pablo Coll. El crédito es para ellos.
4 En la contratapa de Página/12 del 3 de mayo del 2009 hay un artículo sobre la Ley de Benford que es otro ejemplo de la misma situación.