Quiero proponer acá un resultado antiintuitivo. Algo difícil de creer si no fuera que la matemática coopera para aportar una demostración, pero cuando lo lea, estoy casi seguro de que la/lo va a sorprender. Más aún: estoy también casi seguro de que va a creer que no es cierto y va a buscar ejemplos que lo contradigan. Al menos eso fue lo que me pasó a mí, hasta que ya mortificado porque no los podía encontrar, claudiqué, y en lugar de “atacar” el resultado, me puse a pensar por qué podría ser cierto.

Me permito hacer una sugerencia: si le parece que es falso, persiga usted su idea, no se someta a ningún principio de “autoridad”. En la matemática, así como en la ciencia en general, los dogmas no existen, no valen. Toda afirmación requiere una demostración, nadie tiene por qué creer en nada, nadie tiene razón porque diga algo: ¡Lo tiene que demostrar!

Ahora sí, acá va.

Suponga que usted está en una reunión cualquiera. Podría ser una reunión familiar o también la sala de espera de un dentista. No interesa. Lo único que hace falta es que haya al menos otra persona además de usted.

Dicho esto, fíjese que sucede algo muy curioso: no importa cuánta gente haya, siempre tiene que haber al menos dos personas –dentro de ese grupo– que tengan el mismo número de amigos (1).

Por supuesto, estoy usando con libertad la palabra “amigo”. Podría decir “conocido” para que quede más claro, pero aspiro a que usted me acepte la licencia de considerar un amigo y un conocido dentro de la misma categoría. Si lo prefiere, podríamos decir que son personas que se vieron antes, en alguna otra ocasión. Igualmente, ¿no es notable este hecho?

Hay algunos casos más o menos inmediatos para analizar. Por ejemplo, bien podría pasar que nadie conociera a nadie. En ese caso el problema es muy sencillo, ya que todos tienen el mismo número de amigos: cero. O podría ser el cumpleaños de uno de sus hijos y podría ser una reunión íntima en donde los únicos que participan del festejo son los padres del niño y los hermanos. En ese caso todos conocen a todos y, por lo tanto, todos tienen el mismo número de “amigos”.

Sin embargo, lo que resulta obvio en estos dos casos sigue valiendo en general: sea entre los espectadores que fueron a ver un River y Boca, o entre todos los clientes que hay en un bar a las 3 de la tarde, no importa cuán grande o cuán chica sea la reunión (en la medida que haya por lo menos dos personas), siempre tiene que haber al menos dos personas que tengan el mismo número de amigos.

Ahora le toca a usted.

Respuesta

El problema, así presentado, parece inabordable. ¿Cómo habría de hacer una persona para poder pensar en todas las posibles conformaciones de grupos? Imposible. Aquí es donde conviene apelar a la matemática. Empecemos entonces por analizar casos más pequeños. Es decir, reducir el número de participantes y empezar desde allí. Veamos –juntos– si es posible descubrir algún patrón o argumento cuando haya pocas personas involucradas, que después podamos utilizar en grupos cualesquiera.

Supongamos entonces que hubiera exactamente dos personas: usted y alguien más. Evidentemente, o bien ustedes dos no se conocen (en cuyo caso los dos tienen el mismo número de amigos –cero–), o bien eran amigos de antes, en cuyo caso los dos tienen el mismo número de amigos: uno. No hay más alternativas: o se conocían de antes o no. Si se habían visto antes, la respuesta es que cada uno tenía un “amigo”. Si no, los dos tienen cero amigos en la reunión.

Este fue un caso “fácil”.

Sigamos. Supongamos que ahora hubiera tres personas, digamos A, B y C, ¿podría pasar que los tres tengan dentro de la reunión un número de amigos distintos? Exploremos esto. La/lo invito a pensar por su cuenta antes de leer lo que escribí más abajo.

Como cada uno no puede ser amigo de sí mismo, entonces las posibilidades para cada uno son que tenga cero, uno o dos amigos dentro de la reunión. Si dos de ellos tienen el mismo número de amigos, listo. Pero si los tres tuvieran un número distinto de amigos, como no pueden repetir, tiene que haber alguno que tenga cero amigos, otro un amigo, y el restante, dos amigos.

¿Será posible esto? Fíjese que si hay alguien que tiene cero amigos entre los tres, quiere decir que no conoce a los otros dos. Pero si al mismo tiempo, uno de ellos tiene dos amigos, forzosamente tienen que ser ¡los dos que están en la reunión! O sea: o bien el que dijo que no tiene ningún amigo SI tiene alguno, o bien el que dijo que tiene dos está equivocado porque el que dijo que tiene cero amigos, no lo considera a él/ella amigo. O sea, ¡no se puede dar que haya alguien que diga cero amigos y otro que diga dos amigos!

Como no hay otra posibilidad, inexorablemente tienen que repetir el número de amigos y listo.

¿Qué pasaría si hubiera cuatro personas en la reunión? Digamos A, B, C y D. Otra vez, ¿podría ser que todos tuvieran un número de amigos diferente? Si esto fuera cierto, querría decir que deberían tener cero, uno, dos y tres amigos respectivamente. Pero igual que antes, no puede ser que haya uno que diga que no tiene ningún amigo y otro que diga que tiene tres amigos: el que tiene tres amigos tiene que ser amigo de TODOS los que están en la reunión.

Luego, como no pueden figurar el número cero y el número tres al mismo tiempo, inexorablemente tiene que repetirse alguno de los números y eso es justamente lo que queremos demostrar: que tiene que haber al menos dos de los participantes que tienen el mismo número de amigos.

Creo que a esta altura ya está más o menos claro cómo extrapolar esto que hemos visto para casos pequeños en el caso general. ¿Está de acuerdo conmigo? ¿Advierte usted ahora cómo generalizar este argumento?

Es decir, en los dos ejemplos que escribí más arriba utilicé el mismo argumento: ¡No puede haber una persona que diga que tiene cero amigos y otra que diga que todos los que están en la reunión son amigos de él o ella! Por lo tanto, tiene que haber al menos dos personas que tengan el mismo número de amigos.

Ultimo ejemplo: si hubiera diez personas, ¿cuáles son los números posibles de amigos que cada uno puede tener? 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9. O sea, si distribuyéramos estos números –sin repetir– entre las diez personas, cada uno tendría un número diferente de amigos. Pero esto sería imposible, porque no puede ser que haya alguna persona que diga que tiene cero amigos y otra que diga que tiene nueve (o sea, todas las personas que están en la reunión, salvo él). Esa contradicción muestra que no pueden estar distribuidos esos números entre las diez personas y, por lo tanto, algún número, por lo menos, se tiene que repetir, y eso prueba que dos tienen el mismo número de amigos.

El mismo argumento se usaría en el caso de que hubiera 100 personas o 150.000. Si todos tuvieran un número diferente de amigos, alguno tendría que tener cero amigos y otro ser amigo de todos, y eso no es posible. Luego, tiene que haber (por lo menos) algún par de personas que repiten el número de amigos. Y eso es lo que queríamos demostrar.

Conclusión: es antiintuitivo y raro, pero hemos comprobado que en toda reunión, no importa cuánta gente haya, siempre tiene que haber al menos dos personas que tengan el mismo número de amigos.

Eso sí: sin utilizar argumentos matemáticos sencillos, este problema sería virtualmente imposible de abordar.

(1) Voy a usar que la relación de amistad es simétrica, o sea, voy a suponer que si A es amigo de B, entonces B es amigo de A.

(La idea original de este problema es de Peter M. Higgins, autor del libro Mathematics for the curious –“Matemática para los curiosos”–; sin embargo, la recibí a través de una propuesta del Dr. Carlos D’Andrea, doctor en matemática egresado de Exactas, UBA y hoy profesor en la Universidad de Barcelona.)