Un estudiante trajo una calculadora con un problema. Me dijo que había dos teclas (que no sabía cuáles eran) que estaban intercambiadas. Es decir, cuando uno aprieta una de esas dos teclas, la calculadora hace la cuenta con el número que corresponde a la otra. Y viceversa.

Le propuse que hiciéramos algunas cuentas, nos fijáramos en los resultados y viéramos si podíamos decidir cuáles eran las dos teclas intercambiadas.

Alcanzó con que hiciéramos estas tres sumas:

a) 6+8=14

b) 2+5+6=15

c) 1+2+3+8=12

Le propongo ahora que le dedique un rato para tratar de dilucidar, con estos datos, cuáles son esas teclas.

Solución

Fíjese en la parte (b). La suma debería dar 13 y no 15 (ya que 2+5+6 = 13). Esto indica que una de las teclas involucradas (2, 5 o 6) está intercambiada con otra. Si estuvieran intercambiadas entre ellas (por ejemplo si el 2 “actuara” como 5 y viceversa), entonces yo no podría descubrir el error. Pero como la suma no es la correcta, entonces tiene que haber una sola tecla que está equivocada. Más aún: sea cual fuere la tecla, lo que está haciendo es “sumando 2” más de lo que debiera. Es decir, o bien el 2 está actuando como un 4, o bien el 5 funciona como 7 o bien el 6 actúa como un 8.

Por otro lado, de la igualdad (c), uno descubre que una de las cuatro teclas (1, 2, 3 u 8) está intercambiada [1] con otra, pero, en este caso, la tecla correcta aportaría dos unidades menos que la que está activada. Pero el número 1 no puede estar intercambiada con ninguna otra tecla porque “dos unidades menos daría un número negativo”, de la misma forma que el 2 tampoco puede ser la tecla equivocada porque si el 2 tuviera que actuar como “cero”, entonces, si uno mira la segunda igualdad, la suma (2+5+6) debería dar 11 y no 15.

Luego, las únicas dos alternativas son: que el 3 esté intercambiado con un 1 o que al apretar el 8 éste funcione como un 6.

Si el 1 y el 3 estuvieran intercambiados, entonces en la igualdad (c) no serviría para detectarlo, ya que se compensarían y, por lo tanto, la suma debería dar correctamente 14 y no 12 como es el resultado que figura. Luego, la única alternativa es que al apretar el 8 éste funcione como un 6.

Como final, fíjese que de la igualdad (b), deducíamos que había tres posibilidades: que el 2 fuera un 4, el 5 fuera un 7 o que el 6 fuera un 8. De la igualdad (c), deducimos que la única posibilidad es que el 8 actúe como un 6. Luego, concluimos que el 6 y el 8 son las teclas intercambiadas, y como forma de confirmarlo, fíjese en la igualdad (a): allí se ve que la suma es correcta porque se compensan los errores que provee cada una.

¿No es bonita la solución?

Otro camino

Un breve agregado que sirve para corroborar que lo que escribí acá arriba está bien. Cuando grabé este problema para el programa Científicos Industria Argentina, que se emite por el Canal 7, utilicé esta versión:

De la segunda igualdad, se deduce que o bien 2 o 5 o 6 suman dos más que lo que indican sus números. O sea, o bien el 2 está intercambiado con el 4, o el 5 con el 7 o si no, el 6 con el 8.

Dejemos para el final el caso en el que las teclas intercambiadas sean el 6 y el 8, ya que en la primera igualdad se cancelan.

Analicemos cada caso por separado. Si el 2 estuviera intercambiado con el 4, entonces en la tercera igualdad, como el 4 no aparece, pero el 2 sí, entonces esta suma: (1+2+3+8) debería dar 16 (ya que el 2 debería ser interpretado como un 4).

Pero como la suma resultó ser 12, entonces el dos y el cuatro no pueden ser las teclas en cuestión. La otra alternativa sería que el par de teclas que están intercambiadas fueran el 5 y el 7. Pero ninguna de estas dos teclas aparecen en la tercera igualdad, la que figura con la letra (c). Luego, hay que excluir al 5 y al 7.

En consecuencia, la única alternativa es que sean el 6 y el 8, como ya habíamos descubierto con la otra respuesta.

* Todo el crédito es para Pablo Coll (y sus colaboradores) porque el material lo propuso él para el programa Alterados por PI, en la séptima edición que se emitió por primera vez en el Canal Encuentro de la Argentina, durante el año 2014.

[1] No pueden estar las dos teclas intercambiadas en la igualdad (c) porque si no, no podríamos descubrir el error.