Por Adrián Paenza

El que sigue es un problema de enunciado muy sencillo, pero para encontrar la solución hace falta diseñar una estrategia. De eso se trata: ser capaz de elaborar un plan que permita conseguir un objetivo. Me explico.

Suponga que yo traigo seis monedas. Estas monedas pesan 1, 2, 3, 4, 5 y 6 gramos respectivamente. En apariencia, son iguales, salvo que cada una tiene una “etiqueta” que debería identificar su peso.

Al mismo tiempo, le ofrezco una balanza clásica, con dos platillos. Puede que las monedas tengan las etiquetas ubicadas en las monedas que corresponde... o no. Es decir, cada etiqueta tiene un número que debería identificar el peso de la moneda, pero puede que hayan sido mal distribuidas.

La pregunta entonces es la siguiente: ¿es posible diseñar una estrategia que permita determinar si todas las etiquetas están bien ubicadas usando nada más que dos pesadas?

Como usted advierte, el problema no puede ser complicado. Del enunciado mismo se deduce que sólo se trata de prueba y error. Fíjese que no importa cuál o cuántas están equivocadas; el problema solamente pide decir si las etiquetas están todas correctamente ubicadas o no. Basta que haya dos en una mala posición para concluir que “no todas están bien”.

Le sugiero entonces que no mire lo que escribí acá abajo y se dé el tiempo que necesite para contestar la pregunta: ¿se puede o no se puede? Y si se puede... ¿cómo hacer?

Solución

Supongo que debe haber varias soluciones a este problema. Yo voy a proponer acá una potencial estrategia para encontrar la respuesta. Veamos.

En la primera pesada, tome las monedas (1, 2, 3) por un lado, y póngalas en un platillo. Del otro lado, ponga la moneda que lleva la etiqueta número 6. Pueden pasar dos cosas: o bien los platillos están alineados o no.

Vayamos por pasos. El problema queda resuelto inmediatamente si la balanza no está “igualada”. Eso indica que algunas etiquetas (o todas) tienen que estar mal, ya que (1+2+3) = 6, y si al pesarlas de la forma que indiqué más arriba, no se obtiene una igualdad, entonces, las etiquetas están equivocadas. Si al pesar (1, 2, 3) con 6 del otro lado, los platillos no están igualados, se terminó el análisis y hemos llegado a la respuesta: las etiquetas están mal.

Supongamos que sí, que resultan estar igualados. ¿Se podrá concluir que están todas las etiquetas bien ubicadas? (¿Quiere pensar usted?). La respuesta es que no, porque bien podría pasar que al pesarlas diera igual, pero que la etiqueta 1 y la etiqueta 3 estén cambiadas, y con esta única pesada no nos daríamos cuenta.

Sin embargo, sí hay un dato que podemos extraer de la igualdad. La etiqueta número 6 sí tiene que estar bien ubicada. Si no, no hay forma de que con una sola moneda en un platillo, la suma de ningún grupo de tres monedas le pueda igualar el peso (le pido que piense usted las razones por qué esto es cierto: pruebe todos los casos si le hace falta y verá que tengo razón).

Es decir, si (1, 2, 3) pesan lo mismo que 6, se deducen tres hechos (y fíjese si usted está de acuerdo):

a) la moneda 6 tiene la etiqueta correcta

b) las monedas (1, 2, 3) puede que estén todas bien, pero si no, tienen a lo sumo las etiquetas intercambiadas entre ellas (si no, la suma de las tres no podría dar 6)

c) por la misma razón, como las monedas 1, 2, 3 a lo sumo tienen las etiquetas intercambiadas entre ellas, las monedas 4 y 5 puede que tengan las etiquetas correctas, pero si no, las tienen intercambiadas entre ellas.

Estas tres afirmaciones son importantes para ver cómo hacer con la segunda pesada.

Ahora, tome las monedas (1 y 6) y póngalas en un platillo, y del otro lado, las monedas (3 y 5).

Acompáñeme en este camino: por un lado, si todas las etiquetas estuvieran en el lugar que les corresponde, el platillo que tiene las monedas (1, 6) tiene que pesar menos que el platillo que tiene (3, 5) (de un lado pesan siete gramos y del otro, ocho). Pero lo curioso es que ¡éste es el único caso en el que es posible que (1, 6) pesen menos que (3, 5)! Es decir, cualquier cambio en las etiquetas impide que el platillo (1, 6) pese menos que el (3, 5). ¿Por qué?

Ya sabemos que la etiqueta 6 está en el lugar correcto (por lo que vimos en la primera pesada). Luego, la única que puede estar “mal” es la “1”. Pero “1”, solamente puede tomar los valores “2” o “3”. Si la “1” tomara el valor “2”, entonces el platillo de la izquierda pesaría ocho gramos, pero el platillo de la derecha pesa –por lo menos– lo mismo. ¿Por qué? Es que la etiqueta “3” está en el lugar correcto (ya que “1” y “2” cambiaron de lugar, lo que obliga a que “3” esté en el lugar que le corresponde), y las únicas alternativas para “5” es que o bien pese bien (cinco gramos) o bien pese cuatro. En cualquiera de los dos casos, el platillo que tiene (3, 5) pesa o bien igual o bien menos que el platillo (1, 6).

Esto sucedió si las monedas “1” y “2” tenían intercambiadas las etiquetas. El último caso que queda por analizar es si la moneda que dice “1” pesa tres gramos. En ese caso, el platillo de la izquierda (el que tiene (1, 6)), pesa nueve gramos. El de la derecha está forzado a pesar menos ya que “3” ya no puede estar bien (y tiene que pesar menos) y “5” o bien pesa cinco o bien cuatro. En cualquier caso, el platillo que tiene (3, 5) no puede llegar a nueve.

Moraleja: la única forma en que el platillo que tiene (1, 6) pese menos que el platillo que tiene (3, 5) es si las cuatro etiquetas están ubicadas correctamente.

Y ahora, fíjese que las dos etiquetas que quedan, 2 y 4, están forzadas a que indiquen el peso de las monedas en forma correcta, porque 2 no podría cambiar sino con 1 o 3 (que están bien) y 4, solamente podría intercambiar con 5, por lo que también está obligada a indicar lo que corresponde.

De todo esto se concluye que si en la segunda pesada el platillo que tiene (1, 6) pesa menos que el platillo que tiene (3, 5), entonces todas las etiquetas están dispuestas en forma correcta, mientras que si (1, 6) pesan igual (o más) que (3, 5) entonces algunas [1] (o todas) las etiquetas están equivocadas. Y esto termina el problema. ¿No es bonito?

[1] Escribo “algunas” y no “alguna” porque no puede haber una sola etiqueta equivocada. Si hay una que marca en forma errónea, esto obliga a que –por lo menos– haya otra que también indique un peso equivocado.