Los conjuntos infinitos tienen siempre un costado atractivo: atentan contra la intuición. Supongamos que hubiera un número infinito de personas en el mundo. Y supongamos también que hay un hotel, en una ciudad, que contiene infinitas habitaciones. Estas habitaciones están numeradas, correspondiéndole a cada una un número natural. Así, la primera lleva el número 1, la segunda el 2, la tercera el 3, etcétera. Es decir: en la puerta de cada habitación, hay una placa con un número que sirve de identificación.

Ahora, supongamos que todas las habitaciones están ocupadas y sólo por una persona. En un momento determinado, llega al hotel un señor con cara de muy cansado. Es tarde en la noche y todo lo que este hombre espera es terminar rápido con el papelerío para poder ir a descansar. Cuando el empleado de la recepción le dice que “lamentablemente no tenemos ninguna habitación disponible ya que todas las habitaciones están ocupadas”, el recién llegado no lo puede creer. Y le pregunta:

–Pero, cómo... ¿no tienen ustedes infinitas habitaciones?

–Sí –responde el empleado del hotel.

–Entonces, ¿cómo me dice que no le quedan habitaciones disponibles?

–Y sí, señor. Están todas ocupadas.

–Vea. Lo que me está contestando no tiene sentido. Si usted no tiene la solución al problema, lo ayudo yo.

Y acá conviene que ustedes piensen la respuesta. ¿Puede ser correcta la del conserje, o sea que “no hay más lugar”, si el hotel tiene infinitas habitaciones? ¿Se les ocurre alguna solución?

Acá va:

–Vea –continuó el pasajero–. Llame al señor de la habitación que tiene el número 1 y dígale que pase a la que tiene el 2. A la persona que está en la habitación 2, que vaya a la del 3. A la del 3, que pase a la del 4. Y así, siguiendo. De esta forma, toda persona seguirá teniendo una habitación que no compartirá con nadie (tal como era antes), pero con la diferencia de que ahora quedará una habitación libre: la número 1.

El conserje lo miró incrédulo, pero comprendió lo que le decía el pasajero. Y el problema se solucionó.

Ahora bien: algunos problemas más:

a) Si en lugar de llegar un pasajero, llegan dos, ¿qué sucede? ¿Tiene solución el problema?

b) ¿Y si en lugar de dos, llegan 100?

c) ¿Cómo se puede resolver el problema si llegan “n” pasajeros inesperadamente durante la noche (donde “n” es un número cualquiera). ¿Siempre tiene solución el problema independientemente del número de personas que aparezcan buscando una pieza para dormir? ¿Y si llegaran infinitas personas? ¿Qué pasaría en ese caso?

Solución al problema del hotel de Hilbert

a) Si en lugar de una persona llegan dos, lo que el conserje tiene que hacer es pedirle al de la habitación 1 que vaya a la 3, al de la 2 a la 4, al de la 3 a la 5, al de la 4 a la 6, etcétera. Es decir, pedirle a cada uno que se corra dos habitaciones. Eso dejará las dos primeras habitaciones libres que servirán para alojar a los dos pasajeros recién llegados.

b) Si en lugar de dos pasajeros llegan cien, entonces, lo que hay que hacer es decirle al señor de la habitación 1 que pase a la 101, al de la 2, a la habitación 102, al de la 3, a la habitación 103, y así siguiendo. La idea es que cada uno se corra exactamente 100 habitaciones. Eso dejará 100 habitaciones libres, que ocuparán los cien nuevos pasajeros que recién arribaron.

c) Con la misma idea que solucionamos las partes a) y b), se responde ésta. Si los que llegan son n nuevos pasajeros, la solución es correr cada pasajero que ya ocupaba una habitación, n habitaciones. Es decir: si alguien está en la habitación “x”, pasarlo a la habitación (x + n). Eso dejará n habitaciones libres para los recién llegados. Y para terminar de contestar la pregunta que plantea el ítem c), la respuesta es sí, sea cual fuere el número de personas que llega, siempre se puede resolver el problema como acabamos de indicar.

d) Por último, si los que llegan son infinitos nuevos pasajeros, ¿qué hacer? Una posibilidad es decirle al de la pieza 1 que pase a la 2, al de la 2 que pase a la 4, al de la 3 que pase a la 6, al de la 4 que pase a la 8, al de la 5 que vaya a la 10, etc. Es decir, cada uno pasa a la habitación que está indicada con el doble del número que tiene en ese momento. De esta forma, todos los recién llegados tienen una habitación (las que están marcadas con un número impar) mientras que los pasajeros que ya estaban antes de la invasión de nuevos turistas, ocuparán ahora todas las habitaciones con números pares en la puerta.

Moraleja: los conjuntos infinitos tienen propiedades muy peculiares que “atentan contra la intuición”. Esta es sólo una nota sobre el tema. Habrá más, especialmente aquella en la que hablaremos de los “distintos tipos de infinito” y sobre “infinitos más grandes que otros”.