Quiero plantear aquí un problema que tiene que ver con poner dinero en un banco que rinda un determinado interés.

A los efectos de hacer la exposición más clara, voy a tomar un ejemplo. Vamos a suponer que una persona tiene un capital de un peso. Y vamos a suponer también que el interés que le pagan anualmente por ese peso es del 100 por ciento. Ya sé. Con este interés, uno sabe que el banco se funde antes de empezar y que el ejemplo está condenado al fracaso. Pero, igualmente, sígame que es interesante. En resumen:

Capital: 1 peso
Interés: 100% anual

Si uno hace la inversión en el banco y se va a su casa, ¿cuánto dinero tiene cuando vuelve justo al año?

Como el interés es del 100%, al año el señor tiene dos pesos: uno que corresponde a su capital y otro que es producto del interés que le pagó el banco. Hasta acá, todo claro.

Capital al cabo de un año: 2 pesos

Supongamos ahora que el señor decide poner su dinero no a un año, sino sólo a seis meses. El interés (a lo largo de todo este ejemplo) permanecerá constante: siempre será de un 100%. Al cabo de ese lapso, ¿cuánto dinero tiene?

¿Está claro que tiene $ 1,50?

Sí, porque el capital permanece intocable. Sigue siendo un peso. En cambio, como el interés es del 100% pero sólo dejó el dinero invertido la mitad del año, le corresponde un interés de la mitad de lo que invirtió y, por eso, le corresponden 0,50 $ de interés. Es decir, su nuevo capital es de $ 1,50.

Si ahora el señor decide reinvertir su nuevo capital en el mismo banco, con el mismo interés (100%) y por otros seis meses de manera de llegar nuevamente al año como antes, ¿cuánto dinero tiene ahora?

Nuevo capital: $ 1,50
Interés: 100% anual
Plazo al que lo deposita: 6 meses

Al finalizar el año, el señor tiene

$ 1,50 + 1/2 ($ 1,50) = $ 2,25

¿Por qué? Bueno, porque el capital que tenía a los 6 meses iniciales no se toca: $ 1.50

El nuevo interés que cobra es de la mitad del capital, porque el dinero lo pone a un interés del 100% pero sólo por seis meses.

Por eso, tiene 1/2 ($ 1,50) = $ 0,75 como nuevo dinero que le aporta el banco como producto de los intereses devengados.

Moraleja: al señor, le conviene (siempre que el banco se lo permita) depositar el dinero a seis meses primero, y luego renovar el plazo fijo a otros seis meses. Si comparamos con lo que le hubiera tocado en el primer caso, al finalizar el año tenía dos pesos. En cambio, reinvirtiendo en la mitad, al cabo de 365 días tiene $ 2,25.

Hagamos un paso más.

Supongamos ahora que el señor coloca el mismo peso que tenía originalmente, pero ahora por cuatro meses. Al cabo de esos cuatro meses, reinvierte el dinero, pero por otros cuatro meses. Y por último, al vencimiento hace una última reinversión (siempre con el mismo capital) hasta concluir el año. ¿Cuánto dinero tiene ahora?

Yo sé que usted puede seguir leyendo en esta misma página y va a encontrar la solución, pero siempre es deseable que el lector haga un mínimo esfuerzo (si así lo desea) de pensar solo.

De todas maneras, aquí va. Veamos si se entiende.

Al principio del año el señor tiene: 1

A los cuatro meses (o sea, transcurrido 1/3 del año) tiene: (1 + 1/3)

A los siguientes cuatro meses (ocho desde el comienzo) tiene:

(1+1/3) + 1/3 (1+1/3) = (1+1/3)(1+1/3) (*) = (1+1/3)2

(Esto sucede porque a los cuatro meses el capital es de (1+1/3) y al cabo de otros cuatro meses tendrá el capital más un tercio de ese capital.

(La cuenta que sigue después, (1+1/3)2

se obtiene de “sacar factor común” (1+1/3) en el término de la izquierda en la ecuación (*).

Ahora bien, cuando el señor invierte (1+1/3)2 por otros cuatro meses, al llegar justo al fin del año, el señor tendrá el capital (1+1/3)2 más (1/3) de ese capital. O sea:

(1+1/3)2 + 1/3(1+1/3)2 = (1+1/3)2 (1+1/3) = (1+1/3)3 (**) = $ 2,37037037

Como usted advierte, ahora nos queda la tentación de hacerlo no sólo cada cuatro meses, sino cada tres meses. Lo invito a que haga la cuenta usted, pero el resultado lo escribo yo. Al cabo de un año, el señor tendrá

(1+1/4)4 = $ 2,44140625

Si lo hiciera cada dos meses, tendría que reinvertir su dinero seis veces en el año:

(1+1/6)6 = $ 2,521626372

Si lo hiciera una vez por mes, reinvertiría doce veces por año

(1+1/12)12 = $ 2,61303529

Como usted ve, al señor le conviene poner su dinero a plazo fijo, pero hacerlo con un plazo cada vez más corto y reinvertir lo que obtiene (siempre con el mismo interés).

Supongamos que el banco le permitiera al señor renovar su plazo diariamente. En este caso, el señor tendría

(1+1/365)365 = 2,714567482
Y si lo hiciera una vez por hora (como en el año hay 8760 horas), tendría:
(1+1/8.760)8760 = 2,718126692

Y se le permitiera hacerlo una vez por minuto, como en el año hay 525,600 minutos, su capital resultaría

(1+1/525.600)525600 = $ 2,718279243

Y por último, supongamos que le permitieran hacerlo una vez por segundo, en ese caso, como en el año hay 34.536.000 segundos, el capital que tendría al cabo de un año sería:

(1+1/34.536.000)34,536,000 = $ 2,718281793

Moraleja: si bien uno advierte que el dinero al finalizar el año es cada vez mayor, sin embargo, el capital no aumenta indiscriminadamente.

Voy a hacer un resumen de la lista que hemos escrito recién:

Veces que renueva al año su depósito	Capital
1 vez al año	2
2 veces al año	2,25
3 veces al año (cuatrimestral)	2,37037037
4 veces al año (trimestral)	2,44140625
6 veces al año (bimestral)	2,521626372
12 veces al año (mensual)	2,61303529
365 veces al año (diario)	2,714567482
8.760 veces al año (por minuto)	2,718126692
525.600 veces al año (una vez por minuto)	2,718279243
34.536.000 veces al año (una vez por segundo)	2,718281793

Lo que es muy muy interesante es que estos números, si bien crecen cada vez que el interés se cobra más frecuentemente, no lo hacen en forma ni arbitraria ni desbocada. Al contrario. Tienen un tope. Están acotados.

Y la cota superior (es decir, si uno pudiera imaginariamente estar renovándolo instantáneamente) es lo que se conoce como el número “e” (que es la base de los logaritmos naturales, cosa que no importa dentro de este contexto).

El número “e” es un número irracional, cuyas primeras cifras decimales son:

e = 2,718281828

Este número, tiene un desarrollo decimal infinito y pertenece a la misma categoría que el número II~ (pi), en el sentido que además de irracionales, son números trascendentes (en el sentido de que no son la solución de ningún polinomio con coeficientes enteros).

El número “e” es uno de los números más importantes de la vida cotidiana, aunque su importancia y relevancia están generalmente escondidas para el gran público. En algún otro momento y lugar, habría que divulgar mucho más sobre él. Por ahora, nos contentamos con celebrar su aparición en este escenario, mostrándolo como la cota superior del crecimiento de un capital de un peso puesto a un interés del 100 por ciento anual y renovado periódicamente.