¿Sudoku dijo? ¿Qué es Sudoku? Posiblemente hoy haya mucha gente que pueda contestar lo que es el Sudoku, pero seguro que hace dos años nadie tenía idea de lo que habría de transformarse en el “furor” en términos de pasatiempo y juegos de lógica. De hecho, en muchísimos diarios y revistas, no sólo en la Argentina sino también en todo el mundo, tienen sus páginas llenas de este juego, originado en Japón, que tiene “atrapada” a buena parte de la población que busca en crucigramas, rompecabezas y pasatiempos de diversa índole, una manera de darle “chicle” al cerebro para mascar.

Para aquellos que nunca escucharon hablar del Sudoku, las reglas son bien simples y fácilmente comprensibles.

Como suele suceder ahora, Internet está repleto de variaciones del juego. Su aparición rompió con los moldes de los viejos crucigramas o juegos de palabras tradicionales, pero lo interesante es que si bien aparecen números involucrados (los dígitos del uno al nueve repartidos múltiples veces en las casillas), pocos deben creer que están usando y haciendo matemática, cuando resuelven uno de los problemas.

Más aún. Como hay muchísimos maestros y profesores de matemática, en los distintos colegios y escuelas del país, que andan a la búsqueda de nuevos estímulos para sus estudiantes creo que el Sudoku permite hacer algunas preguntas, no todas de fácil respuesta, que pueden funcionar como “disparadores” de un trabajo “interactivo” entre docentes y alumnos.

Las que siguen son sólo algunas de ellas. Eso sí: uno puede jugar al Sudoku sin tener que contestar ninguna, y vivir feliz. Pero también es cierto que uno puede hacerse las preguntas y ser feliz aún sin encontrar las respuestas, y ni qué hablar si las encuentra.

Made in Japan

El nombre Sudoku (de acuerdo con datos extraídos de la Wikipedia, la enciclopedia gratuita que figura en Internet, corroborado también por otras fuentes), proviene del japonés “Suuji wa dokushin ni kagiru”, que significa: “los dígitos tienen que quedar solteros”. O “libres”. Sudoku es una marca registrada de la editorial japonesa Nikoli Co. Ltd.

¿Desde cuándo
existe el Sudoku?

Hay distintas versiones, pero la más aceptada es que apareció por primera vez en una revista japonesa en 1984. Sin embargo, le debe toda su popularidad a Wayne Gould, un juez que se jubiló en Hong Kong y que luego de ver el juego en Tokio, escribió un programa de computadora que automáticamente generaba Sudoku para poder entretenerse él. Luego se dio cuenta de que, quizás, había descubierto una mina de oro y empezó a ofrecerlo a distintos diarios europeos. Poco tiempo después, en el 2004 (hace ¡menos de dos años!), uno de los periódicos más importantes de Inglaterra, el Times, aceptó la propuesta de Gould. Y el competidor del Times, el no menos famoso Daily Telegraph, lo siguió inmediatamente en enero del 2005. A partir de ahí, explotó en el resto del mundo, incluso en la Argentina. Hoy, el juego de Sudoku hace furor en múltiples diarios, revistas, libros especialmente publicados con variantes sorprendentes, versiones más fáciles, más complicadas, con diferentes grados de dificultad. Es común ver gente en los colectivos, trenes, estaciones de subte, ensimismados y pensativos, como “ausentes”, jugando con algún ejemplar del Sudoku. Y encima, es gratis, ¡lo que no es poco!

La matemática

Como decía antes, uno puede sentarse y jugar al Sudoku y entretenerse con él, y nada más. Y de hecho, esto es lo que hace la mayoría de la gente. Pero, al mismo tiempo, resulta desafiante pensar algunas preguntas que uno puede hacerse alrededor del Sudoku.

a) ¿Cuántos juegos de Sudoku posibles hay?

b) ¿Se terminarán en algún momento?

c) ¿Alcanzará para entretener a esta generación? O en todo caso... ¿cuándo empezarán a repetirse?

d) La solución a la que uno llega (cuando llega a alguna)... ¿es única?

e) ¿Cuántos numeritos tienen que venir “de fábrica” para que la respuesta sea única? O sea, cuántas casillas tienen que estar completas de entrada, para que uno pueda empezar a jugar con confianza de que el problema tenga una única solución?

f) ¿Hay un número mínimo de datos que tienen que darnos? ¿Y un número máximo?

g) ¿Hay algún método para resolverlos?

h) ¿Se pueden hacer Sudoku de otros tamaños? ¿Cuántos habrá de 4 x 4? ¿Y de 16 x 16?

i) ¿Se podrán inventar Sudoku de 7 x 7? ¿O de 13 x 13? ¿Por qué no? O, ¿por qué sí? Y en todo caso, ¿cuadrados de cuántas filas y columnas se pueden considerar?

En fin, hay muchísimas preguntas que uno puede hacer, y estoy seguro que usted, mientras las iba leyendo, pensó otras que le interesan más a usted. Y, en realidad, eso es lo único que importa.

Con todo, quiero aportar algunas respuestas, a las que se puede acceder en cualquier libro que se especialice en este pasatiempo japonés, o bien en Internet (ver aparte algunas de las páginas más destacadas) o incluso en la famosa revista Scientific American que le dedicó una nota de varias páginas en la edición que saldrá ahora, en junio del 2006.

Algunos datos
sobre el Sudoku

Me interesa antes que nada hacer algunas reflexiones con quien está leyendo este texto. Suponga que usted tiene resuelto uno de los Sudoku y decide cambiar dos números de posición. Esto es: cada vez que aparece unnúmero uno, usted lo cambia por un ocho. Y al revés lo mismo, es decir, cada vez que aparece un ocho usted lo cambia por un uno. Obviamente, aunque parezcan dos juegos distintos, son el mismo. Es decir, como juegos, son diferentes, pero en esencia, uno sabe que uno proviene de otro intercambiando un par de números por lo que cualquier dificultad que tuviera el primero, lo tiene el segundo. Y viceversa. Ahora bien: cuando tengamos que contar todos los Sudoku que hay, a estos dos últimos ¿los contamos dos veces o reconocemos que es el mismo con dos “apariencias” diferentes?

Por otro lado, supongamos que uno tiene resuelto un Sudoku e intercambia (sólo por poner un ejemplo) las filas uno y tres. ¿Cambia el resultado final? ¿Agrega o quita alguna dificultad? ¿Y si uno intercambiara la cuarta y la quinta columnas? ¿Varía en algo el planteo inicial? ¿Se trata acaso, de dos juegos diferentes?

Uno puede decir que sí, que son dos juegos diferentes porque las columnas están cambiadas o los dígitos están intercambiados. Aceptemos esta respuesta entonces. En ese caso, si bien es difícil calcular el número de Sudoku sin usar algunas herramientas matemáticas y de lógica (y por supuesto, computadoras rápidas) el número de Sudoku que se pueden encontrar se estima que es:

6.670.903.752.021.072.936.960 o sea, más de 6.670 trillones de posibles juegos.

En cambio, si uno restringe los casos como los que planteé recién, y no considera distintos a los que surgen –por ejemplo– de intercambiar dos dígitos, o dos columnas o dos filas, entonces el número de juegos posibles se reduce muchísimo:

5.472.730.538

o sea, un poco menos de 5500 millones. Con todo, lo interesante de este número es que, como dice Jean-Paul Delahaye en el artículo a punto de aparecer en el Scientific American, es menor que el número de personas que habitamos la Tierra, calculado en más de 6300 millones.

Con estos datos, está claro que es difícil que uno pueda considerar que se van a acabar los juegos en esta generación. De hecho, creo que estamos en condiciones de jugar tranquilos sin que podamos llegar a descubrir alguna de las posibles repeticiones.

Otra de las preguntas pendientes, habla sobre la unicidad en la respuesta. ¿Qué quiere decir esto? Supongamos que a usted le dan un juego de Sudoku que tiene repartidos ciertos dígitos en algunas casillas. Por supuesto, no hay garantía de que la configuración que le dieron tenga solución. Es decir, usted podría encontrarse con algunos datos contradictorios. Pero suponiendo que están bien, y que no hay contradicciones, ¿cómo sabe que la solución que encontró es la única que hay?

En realidad, esa es una muy buena pregunta, porque al haber tantos juegos de Sudoku posibles, hay que recurrir a una computadora para poder testear –en general– si hay más de una solución. Podría haber más. De hecho, ustedes mismos pueden inventar uno de estos juegos que tenga más de una solución.

Sin embargo, la unicidad de la solución debería ser un requerimiento básico. Es decir: se supone que si el juego está bien planteado, tiene una solución única. Eso forma parte del atractivo del Sudoku. Si no, sería como jugar al “bingo” y, cuando uno cree que ganó y grita “¡Bingo!”, hay otro que “gana” junto con usted.

Ahora bien: ¿cuántos números tienen que venir ya impresos antes de empezar el juego? ¿Los contó alguna vez? ¿Siempre hay la misma cantidad?Lo interesante es que el número de datos con el que ya viene cada Sudoku, varía con el juego. No hay un número pre-determinado que sea “el” correcto. Pero, como usted mismo puede intuir, algunos números tienen que aparecer porque, en el caso extremo, si no hubiera ninguno habría muchísimos resultados posibles. Ni bien usted pone un dígito, ya eso hace disminuir la cantidad de posibles respuestas y, al ir agregando cada vez más, va restringiendo las soluciones posibles, hasta llegar a un número de datos que garantice una solución única.

Otro problema es el que se llama la minimalidad. Es decir, ¿cuál es el número mínimo de datos que hay que poner para que haya una sola solución? Hasta hoy, junio del 2006, el problema no tiene respuesta. La conjetura más aceptada, es que hacen falta 17 (diecisiete). Hay varios matemáticos en el mundo pensando y discutiendo el caso, y uno de ellos, el irlandés Gary McGuire de la Universidad Nacional de Irlanda, Maynooth, está liderando un proyecto que trata de probar que hay ejemplos de Sudoku que con 16 (dieciséis) datos garantizan una solución única. Hasta acá, según él mismo escribió, ha fallado en el intento, y es por eso que 17 es el número aceptado hasta hoy.

Hay muchas preguntas abiertas (sin respuesta) aún hoy, y hay varios casos más sencillos que se pueden atacar (4 x 4, por ejemplo). Lo que me resulta interesante es mostrar cómo un juego tan inocente y que sólo parece un pasatiempo, tiene detrás, también, tanta matemática.