LA FALACIA DEL JUGADOR

Usted lanza al aire una moneda. La moneda es honesta, en el sentido de que, en cada tirada, existe la misma probabilidad de sacar cara que de sacar ceca. Sin embargo, por esas cosas del azar, en las primeras diez tiradas sale siete veces cara y tres ceca. Es decir, una relación 70-30 (70% cara, 30% ceca). Sabemos que esta relación no puede mantenerse: si sigue tirando la misma moneda, la relación deberá tender al 50-50. Esto es lo que dice la “ley fuerte de los grandes números” o “de retorno al promedio”.

Si en las primeras diez tiradas predominaron las caras y, a largo plazo, la relación debe equilibrarse, parece natural pensar que en las próximas tiradas predominarán las cecas. Esto es lo que predice la “falacia del jugador” y, como su nombre lo indica, es falso: la moneda no tiene forma de recordar lo que pasó en las primeras diez tiradas ni, mucho menos, de ajustar su comportamiento en función de eso. Si es honesta, en cada nueva tirada la probabilidad de obtener ceca seguirá siendo igual a la de obtener cara.

La ley de retorno al promedio y la falacia del jugador parecen dos formas de decir lo mismo. Sin embargo, lo primero es cierto y lo segundo no. ¿Dónde falla el razonamiento del jugador que, pretendiendo aplicar lo primero, aplica falazmente lo segundo?

El retorno al promedio se refiere a frecuencias relativas: porcentaje de caras vs. porcentaje de cecas. Conforme aumenta el número de tiradas, la frecuencia relativa debe tender al 50-50. La falacia del jugador se refiere a valores absolutos: cantidad de caras vs. cantidad de cecas.

Para entender la diferencia, supongamos que tiramos la moneda noventa veces más. Digamos que salen cincuenta caras y cuarenta cecas. Es decir que, contra lo que esperaba el jugador falaz, vuelven a predominar las caras. Sin embargo, teniendo en cuenta las cien tiradas, aparecieron en total 57 caras y 43 cecas. La frecuencia relativa es ahora de 57-43, más próxima al 50-50, como predice la ley de retorno al promedio.

En otras palabras, la tendencia hacia el 50-50, en términos relativos, no necesariamente implica que se equilibren las cantidades absolutas de caras y cecas.

BEBIENDO A ARQUIMEDES

Dicen que Arquímedes descubrió su famoso principio cuando, al sumergirse en la bañadera, derramó parte del agua. Digamos que un vaso. Es altamente probable que la próxima vez que usted beba agua esté bebiendo algunas de las moléculas que derramó Arquímedes ese día en el baño. Y esto es fácil de demostrar.

Supongamos que en un frasco hay mil bolitas, cien de las cuales son negras y el resto blancas. Si el contenido del frasco se mezcla uniformemente, una muestra de cien bolitas tomadas al azar contendrá unas diez bolitas negras. Esto es porque, dadas las condiciones del problema, la décima parte de cualquier conjunto de bolitas suficientemente grande debe ser negra.

Ahora bien, el agua contenida en todos los océanos es de aproximadamente 1200 millones de kilómetros cúbicos, lo que equivale a unos 6 x 1021 de vasos de 200 centímetros cúbicos. Por su parte, un vaso de agua contiene unas 6 x 1024 moléculas de agua. Es decir que hay mil veces más moléculas en un vaso de agua que vasos de agua en todo el océano. Si suponemos que el agua derramada por Arquímedes hace más de dos mil años se mezcló uniformemente por todo el planeta, cada porción de 200 cm3 tendrá mil de sus moléculas.

Este razonamiento se puede aplicar a cualquier sustancia que recircule uniforme y naturalmente luego de un tiempo suficientemente largo. Por ejemplo, el aire. Hay aproximadamente tantas moléculas en una bocanada de aire como bocanadas de aire en toda la atmósfera. Eso quiere decir que, cada vez que usted inspira, lleva a sus pulmones alguna de las moléculas que resopló Galileo el día que lo condenaron.

LA CUADRATURA DEL CIRCULO

Tres problemas de matemática:

1. Dibujar un cuadrado que tenga solamente tres lados.

2. Encontrar dos números impares cuya suma también sea un número impar.

3. Dado un círculo, dibujar un cuadrado que tenga la misma superficie, empleando solamente regla y compás.

Estos tres problemas tienen algo en común: son imposibles de resolver. No es que sean muy complicados. No es que la matemática todavía no les encontró solución. Son imposibles de resolver porque son contradictorios. Lo que piden es necesariamente imposible.

La contradicción es evidente en el primer problema. Un cuadrado, por definición, tiene cuatro lados. Ninguna figura que tenga solamente tres lados podrá ser un cuadrado.

Aunque no resulte tan evidente, el segundo problema también es contradictorio. Puede demostrarse fácilmente que la suma de dos números impares debe ser un número par.

Y el tercer problema también encierra una contradicción. Pero eso ya no es para nada evidente: se trata del famoso problema de la “cuadratura del círculo”.

Hay quienes creen que la cuadratura del círculo es un problema de importancia fundamental, un problema cuya solución abrirá puertas al progreso matemático. Pero, en realidad, es un problema tan simple de enunciar que parece tomado de un libro de texto. Y toda la dificultad radica en la condición de resolverlo, usando solamente regla y compás.

Para resolver los problemas geométricos se necesita papel, lápiz y algunos instrumentos auxiliares. Y así como los antiguos griegos trataron de reducir al mínimo los axiomas básicos de la matemática, también se propusieron recurrir al menor número de instrumentos auxiliares: una regla (sin graduaciones, sin marcas) y un compás (como el que usamos en la escuela).

Hay muchas operaciones aritméticas que pueden efectuarse gráficamente con regla y compás: trazar la perpendicular a un segmento, dividir un ángulo en dos o calcular raíces cuadradas. Pero hay otras que no pueden hacerse. No pueden calcularse raíces cúbicas, por ejemplo.

Un cuadrado cuya superficie sea igual a la de un círculo dado debe tener un lado proporcional a la raíz cuadrada del número Pi (3,14159...). Sacar la raíz cuadrada se puede. Pero obtener el número Pi como resultado de operaciones realizables sólo con regla y compás, no. Puede recurrirse a otros instrumentos, pero sólo con regla y compás no alcanza. No es fácil de explicar por qué, pero está demostrado que Pi es de la clase de números que trasciende a las operaciones aritméticas simples. Por eso se dice que es un número “trascendente”.

Podemos encontrar un cuadrado cuya superficie sea igual a la de un círculo dado, si recurrimos a otros instrumentos. El más simple es una ruedita: un círculo que ruede sobre el papel. Si el diámetro de este círculo mide una unidad, el trazo que deja sobre el papel al avanzar girando una vuelta es exactamente igual a Pi. Una vez obtenido este trazo, el resto del problema es muy sencillo, ya que existen métodos para extraer la raíz cuadrada de un número, usando solamente regla y compás.

Usando compás, regla y la ruedita se puede cuadrar el círculo. Pero el enunciado es claro: la cuadratura del círculo hay que hacerla usando solamente regla y compás. En esas condiciones, el problema no tiene solución. Y no hay nada más que decir del asunto.