–Me parece que ya es hora de alejarnos de El libro de arena –dijo el Comisario Inspector–, pero no sin antes proponer a nuestros lectores el enigma que nos envían Federico Bertalot y Federico Felguer en su carta: ¿Cuántos puntos de adherencia tiene el Libro de arena? Recordemos que un punto de adherencia (o de acumulación) es, dicho más o menos, un punto que tiene otros infinitamente cerca, para decirlo “con poca profundidad”, como señalan injuriosamente Federico Bertalot y Federico Felguer... Pero ¿será posible que se ataque impunemente a la policía? ¿Será posible tanta injusticia?

¿Qué piensan nuestros lectores? ¿Cuántos puntos de adherencia tiene? ¿Y cómo es posible tanta injusticia con la policía?

Correo de lectores

Densidad e injurias

Si consideramos el problema del Libro de arena como un problema de densidad, entonces no es posible llegar a una única respuesta. Todas las páginas están numeradas con números naturales. Si el conjunto de las páginas tuviera el cardinal de los reales sería imposible numerarlas de este modo, apenas podría estar numerado un conjunto de Alef 0 elementos cardinal de los naturales, enteros y racionales. Ya que Alef 0 es menor que el cardinal de los reales, la probabilidad de abrir el libro al azar y encontrarse con una hoja numerada es cero. No nos queda más que pensar que el libro que conocemos tiene Alef 0 páginas.

Ahora bien: el conjunto de páginas puede ser comparable a los racionales o a los naturales, o a algún otro conjunto numerable. Aquí es cuando hay que considerar el problema de densidad, pero con un poco más de profundidad que la que tuvo el comisario. Un conjunto es denso si todos sus puntos son puntos de adherencia. Los puntos de adherencia de un conjunto son puntos p tales que todo entorno de p contiene puntos de este conjunto.

Las potencias de 1/2 tienen un solo punto de adherencia: cero; no es denso. Los racionales sí lo son; los naturales no. ¿Cuántos puntos de adherencia tiene el Libro de arena? Estamos seguros de que la tapa y la contratapa son puntos de adherencia ya que por más que nos acerquemos a estos puntos siempre podemos encontrar más páginas. ¿Pero el resto del libro? Proponemos a los lectores resuelvan esta pregunta, para finalmente dilucidar este problema.

Federico Bertalot y Federico Felguer