–Como complemento a todas estas notas sobre Pitágoras –dijo el Comisario Inspector– quiero demostrar a nuestros lectores que la raíz cuadrada de dos es irracional, esto es, que no puede ser expresada como una fracción del tipo p/q.

–Bueno –dijo Kuhn.

–Voy a dar la demostración que da Aristóteles –dijo el Comisario Inspector– y, para seguirla, hay que tener en cuenta dos principios muy pero muy sencillos.

1) El cuadrado de un número par es siempre par.

²) El cuadrado de un número impar es siempre impar.

–Y al revés –dijo Kuhn–: si n² es par, n es par, y si n² es impar, n es impar. Los lectores podrán comprobar fácilmente estas relaciones y les pedimos que las recuerden.

–Bueno –dijo el Comisario Inspector–, entonces supongamos que la raíz cuadrada de 2 = p/q donde hemos simplificado todos los factores comunes; lo cual significa que p y q no pueden ser ambos números pares, porque, en ese caso, simplificaríamos el factor 2 hasta que uno de ellos se volviera impar. Esto es, o hay uno par y otro impar, o son los dos impares.

Entonces si elevamos todo al cuadrado

2= p² /q²

y en consecuencia

2 q² = p²

Ahora bien: 2q² es un número par (porque está multiplicado por 2) y en consecuencia, p² también. Si recordamos que cuando un cuadrado es par, el número base también lo es, resulta que p también es par.

–Tengamos en cuenta que, si p es par, q no tiene más remedio que ser impar –dijo Kuhn.

–Pero como p es par –dijo el Comisario Inspector–, podemos escribirlo como 2n.

–Y entonces, p² es 4n² –dijo Kuhn.

–Y como 2 q² = p² ; 2 q² = 4n² –dijo el Comisario Inspector.

–Simplificando –dijo Kuhn–, q² = 2 n²

–Pero ahí vemos que q² es par (porque es igual a 2n², que es obviamente par) –dijo el Comisario Inspector.

–Y como q² es par, q también es par –dijo Kuhn.

–¡Pero eso es justo lo que no podía ser! –dijo el Comisario Inspector–, ¡los dos resultan ser pares! Aquí hay una contradicción, hay algo que no funciona, y eso significa que nuestra hipótesis original, de que la raíz cuadrada de 2 era p/q está mal. La raíz cuadrada de 2 no puede ser igual a ninguna fracción.

¿Qué piensan nuestros lectores? ¿Les gustó la demostración que produjo estragos en la escuela pitagórica?