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Quiero plantear un problema que tiene una solución antiintuitiva.

Supongamos que usted y yo somos compañeros de trabajo. Todos los mediodías vamos al restaurante para almorzar y tiramos una moneda. El perdedor es quien paga la comida.

Después de haber ganado tres veces consecutivas, le propongo lo siguiente: en lugar de tirar una sola vez la moneda al aire y decidir quién paga, yo voy a tirar la moneda una vez y usted la tira dos veces y anotamos los resultados.

Si luego de las tres tiradas usted “sacó” más caras que yo entonces gana usted y, por lo tanto, la comida la tengo que pagar yo. En cambio, si el número de caras que tenemos los dos es el mismo o yo tengo más, entonces gano yo, y paga usted.

Advierta que con el juego original, la probabilidad de que cada uno pague es la misma: 1/2. O, si usted prefiere, los dos tenemos el mismo porcentaje de posibilidades: 50 por ciento.

Con la forma que yo le propongo, ¿quién está mejor, usted o yo?

Solución

Anotemos los resultados posibles en una tabla y comparemos quién tiene más casos a favor.

Usted (1er tiro)	Usted (2do tiro)	Yo (único tiro)	Resultado
Cara	Cara	Cara	Gana Ud. 2-1
Cara	Cara	Ceca	Gana Ud 2-0
Cara	Ceca	Cara	Gano yo porque Ud. no tiene más caras que yo
Cara	Ceca	Ceca	Gana Ud 1-0
Ceca	Cara	Cara	Gano yo porque Ud. no tiene más caras que yo
Ceca	Cara	Ceca	Gana Ud. 1-0
Ceca	Ceca	Cara	Gano yo porque Ud. no tiene más caras que yo
Ceca	Ceca	Ceca	Gano yo porque Ud. no tiene más caras que yo

Ahora, observe las filas 1, 2, 4 y 5. En esos cuatro casos, únicamente, usted tiene más caras que yo. O sea, en cuatro sobre ocho gana usted, y tengo que pagar yo. Pero en los otros cuatro casos, usted NO tiene más caras que yo, y por lo tanto allí gano yo, y tiene que pagar usted. Los dos tenemos el mismo número de casos a favor: cuatro.

Todo sigue como al principio: la probabilidad de que usted gane más veces y pague menos no aumentó: sigue igual que antes. Por lo tanto, la probabilidad de que cada uno pague la comida sigue siendo 1/2.

La moraleja es que al haber incrementado el número de tiradas, si usted o yo pensábamos que alguno de los dos incrementaría su probabilidad de ganar, estaba equivocado. Aun variando el número de tiros, la probabilidad de acertar sigue siendo la misma.

En cambio, si usted tirara la moneda tres veces y yo una sola, entonces en ese caso usted ganaría once veces y yo las otras cinco (compruébelo usted haciendo una tabla similar a la que figura más arriba).

Como final interesante: recién comprobamos juntos que si usted tira la moneda dos veces y yo una, y usted gana si al contar el número de caras que obtuvimos, usted tiene más que yo, las probabilidades de ganar son las mismas para los dos: 1/2. Pero si ahora usted tirara la moneda tres veces y yo dos, y contáramos cuántas veces usted saca más caras que yo, volveríamos a tener las mismas chances. Y lo mismo sucedería si usted tirara siete veces y yo seis. Es decir: mientras usted tire una vez más que yo, la probabilidad de que usted gane no aumenta, no importa cuántas sean. Esto último también queda como “tarea para el hogar” (¡Qué mal suena esto, ¿no?).