Gary Foshee es uno de los más activos generadores de contenidos de matemática recreativa en el mundo. El 4 de junio del año 2010, en una conferencia que se hace cada dos años en Atlanta, EE.UU., en recuerdo del mítico Martin Gardner, Foshee subió al escenario y propuso pensar el siguiente problema:

“Yo tengo dos hijos. Uno de ellos es un varón. Nació un día martes. ¿Cuál es la probabilidad de que yo tenga dos varones?”

Me haría falta un libro entero para describir el huracán de discusiones que trajo aparejado el análisis de esta pregunta. Faltó que volaran las sillas del teatro pero dentro del mundo de la matemática las disputas todavía continúan.

Hablando de controversias, antes de analizar qué respuesta tiene el problema, quiero plantear otro, supuestamente más sencillo, y después vuelvo con el anterior.

“Alicia tiene dos hijos. Al menos uno de ellos es un varón. ¿Cuál es la probabilidad de que Alicia tenga dos varones?”

La solución de éste también genera polémicas pero, por supuesto, para que usted pueda involucrarse en la discusión necesita poner algo propio y que nadie puede hacer por usted: pensar. ¿Qué tiene para perder?

Estoy seguro de que los dos enunciados son comprensibles, por lo que sugiero que le dedique un rato para elaborar una respuesta. Después sí, discuta conmigo, pero al menos búsquese un lugar en la mente para tener una opinión.

Empecemos con el problema de Alicia. La tentación que uno tiene es decir: “Vea. Si Alicia tiene dos hijos y se sabe que uno de ellos es un varón, y usted me pregunta ¿cuál es la probabilidad de que el otro sea varón?, le contestaría que hay un 50 por ciento de posibilidades (más o menos) de que sea un varón, o sea, la probabilidad es 1/2.”

Sin embargo, la respuesta correcta no es 1/2. Ahora verá por qué y me imagino que usted no necesariamente va a estar de acuerdo conmigo. Voy a plantear la pregunta de otra forma.

“De todas las familias que tienen un varón y otro hijo, ¿qué proporción de esas familias tienen dos varones?”

Ahora le sugiero que pensemos juntos. Una familia con dos hijos, ¿de cuántas maneras posibles pudieron haber tenido los niños? Las combinaciones posibles son (teniendo en cuenta el hijo mayor y el hijo menor): VV, VN, NV y NN. Esos son los cuatro casos posibles.

Ahora bien: como uno sabe que uno de los dos niños es un varón, entonces, eso descarta la alternativa NN. Nos quedan entonces tres posibilidades: VV, VN y NV.

De estas tres candidatas, solamente una consiste en dos varones: VV. Es decir, la probabilidad de que sean dos varones es exactamente igual a 1/3. Acá me quiero detener un instante: créame que me gustaría poder tenerlo como interlocutor para que podamos discutir la solución pero, como eso no es posible, me permito intuir que quizás usted esté en desacuerdo con lo que escribí más arriba. Más aún, creo que sé cuál fue la respuesta a la que arribó usted: 1/2. Es decir, el razonamiento que puede que usted haya hecho fue el siguiente: si una persona tiene dos hijos, y uno de ellos es un varón, el otro niño pudo haber sido un varón o una nena, y en ese caso, la probabilidad de que el otro haya sido otro varón es 1/2.

Sin embargo, esa línea de razonamiento no tiene en cuenta el orden en el que nacieron. Es decir, si yo dijera: “Alicia tiene dos hijos. El mayor es un varón. ¿Cuál es la probabilidad de que el otro hijo también sea un varón?”, entonces sí, esa probabilidad es 1/2. Pero en el caso que nos ocupa, eso no lo sabemos. Sabemos que al menos uno de los dos niños es un varón. Pero nada más. Lo que no sabemos es cuál de los dos hijos es el varón (el mayor o el menor), y de allí es que se planteen las tres posibilidades (VV, VN y NV) y, en consecuencia, cambia la probabilidad de que el otro sea también un varón, y de 1/2 pasa en realidad a ser 1/3.

Ahora, quiero abordar el otro problema:

“Yo tengo dos hijos. Uno de ellos es un varón. Nació un día martes. ¿Cuál es la probabilidad de que yo tenga dos varones?”

En principio, uno podría decir: ¿qué puede cambiar el hecho de saber que uno de los dos hijos nació un martes en la probabilidad de que Foshee tenga dos hijos varones? Sin embargo, aunque no parezca, sí cambia. Y cambia mucho. Vea por qué.

Voy a usar el mismo argumento que utilicé más arriba para deducir que la probabilidad era 1/3 y no 1/2. Analicemos (juntos) las posibles combinaciones de sexo y de día de la semana en los que pudieron haber nacido los hijos de Foshee.

Si el hijo mayor es el varón que nació un martes, entonces, hay 14 posibilidades para el hermano. Es que éste puede ser otro varón que hubiera nacido en cualquiera de los siete días de la semana o bien pudo haber sido una nena que haya nacido en cualquiera de esos mismos siete días.

Ahora analicemos los otros casos posibles. Supongamos ahora que es el hijo menor de Foshee el que nació un martes. Entonces, como antes, hay 14 posibles combinaciones para el hermano mayor: siete de que sea un varón nacido cualquier día de la semana, y otros siete de que sea una nena nacida cualquiera de los días de la semana.

Sin embargo, como quizás usted advirtió, estoy contando dos veces el mismo caso, que es cuando ambos varones nacieron un martes: cuando tanto el mayor como el menor sean varones nacidos en martes. O sea, lo conté dos veces y, por lo tanto, en lugar de 14 posibilidades hay 13 casos posibles en donde uno de los dos hijos es un varón nacido un martes. En total son 27.

Ahora, de estos 27 casos, ¿en cuántos de ellos hay dos varones? Si usted hace la cuenta, encontrará que hay 13: siete en donde el mayor es el nacido el martes y el menor es varón nacido cualquier día de la semana, y otros seis, cuando el menor es el que nació el martes y el mayor es un varón que nació cualquier día de la semana.

Moraleja 1: la probabilidad de que los dos sean hijos varones es de 13/27. Y esto es lo sorprendente: esta probabilidad, 13/27 está mucho más cerca de 1/2 que de 1/3 como en el problema anterior. Aunque parezca antiintuitivo, el hecho de saber que uno de los hijos varones nació un martes, altera fuertemente la probabilidad de que el otro sea varón.

Moraleja 2: son muy pocos los problemas conocidos dentro de la matemática recreativa que generen más controversia y discusión que este que propuso Foshee, pero más allá de si los argumentos lo convencen o no, lo que seguramente valió la pena fue haber caminado mentalmente por lugares desconocidos. De allí el valor del pensamiento, la posibilidad de recorrer imaginariamente escenarios (o fantasías) alejados de nuestra vida cotidiana.