Hace unos días estaba en un bar tomando un café y había varias personas jugando a los dados. En realidad, jugaban con un solo dado que tiraban repetidamente. Mientras los veía jugar me pregunté si conocía algún juego con esas características, pero por más que revisé en mi “archivo mental” no pude recordar ninguno. No hizo falta. Al ratito, no bien advirtieron la presencia de un matemático sentado a otra mesa, se acercaron para hacerme algunas preguntas.

Antes de que las exponga quiero hacer un breve repaso por las reglas del juego. Es muy sencillo y consiste en lo siguiente: puede jugar cualquier número de participantes. Cada uno va tirando el dado en forma reiterada y sumando los resultados que obtiene. Cuando esa suma supera –estrictamente– al número 12, se detiene, anota su puntaje y le pasa el cubilete al siguiente competidor.

Al cabo de diez rondas (creo que eran diez, pero a los efectos de lo que quiero plantear es irrelevante), el jugador que haya sumado la mayor cantidad de puntos gana. Como se ve, es un juego muy elemental y sin complicaciones. Sin embargo, la pregunta central que me hicieron es la siguiente: ¿cuál es la suma más probable con la que se acaba cada mano? Es decir, cuando un participante va tirando el dado habrá un momento en que la suma superará el número 12, entonces, ¿cuál será el número mayor que 12 que tiene más posibilidades de salir?

Voy a escribir acá abajo la reflexión que hice con ellos, pero valdría la pena –creo– que usted –que está leyendo estas líneas– le dedique un ratito a pensar por su cuenta.

Respuesta

Recorramos juntos la siguiente idea. Supongamos que es usted quien venía arrojando el dado repetidamente y sumando los resultados que iba obteniendo.

Hubo un momento en que lo arrojó por última vez, porque superó al número 12. En el tiro previo al último, ¿qué resultados pudo haber obtenido hasta allí? Le sugiero que piense la respuesta antes de avanzar.

Sigo yo. Usted debió haber llegado a estos potenciales resultados:

12, 11, 10, 9, 8 o 7.

¿Por qué? Porque si llegó a un número cualquiera menor que siete, lo máximo que puede agregar es un seis, y por lo tanto, nunca llegará a superar al número 12, y haber llegado a seis tampoco es suficiente, porque con un solo tiro a lo sumo podrá alcanzar a 12 pero no superarlo como es el objetivo.

Ahora sí, analicemos las diferentes situaciones.

a) Si usted llegó a 12, entonces, en el siguiente tiro usted pudo haber llegado a

13, 14, 15, 16, 17 y 18.

Y todas son igualmente posibles.

b) Si usted llegó a sumar 11 (en el penúltimo tiro), ¿a qué valores puede llegar cuando arroja el dado por última vez?

13, 14, 15, 16 y 17 (1).

c) Si usted llegó a sumar 10, entonces los valores posibles ahora son:

13, 14, 15 y 16.

d) Si usted llegó a sumar 9, entonces los valores posibles al tirar el último dado son:

13, 14 y 15

e) Si llegó a sumar 8, los resultados posibles son: 13 y 14 y por último,

f) si llegó a sumar 7, el único resultado al que usted puede llegar en el último tiro es 13 (es que para poder superar a 12, usted se vio forzado a sacar un 6 en con el último intento).

Dicho todo esto, y explorando todos los resultados posibles, es fácil detectar que el número que más posibilidades tiene de salir es ¡13! (2)

Moraleja

Las personas que estaban jugando en el bar aspiraban a saber cuál era el número que tenía más posibilidades de salir y juntos descubrimos que era el número 13. No sé si se quedaron muy contentos, porque de todos los resultados que superaran a 12 el más pequeño de todos es 13 y por lo tanto, es más difícil sumar puntos para ganar al finalizar las diez rondas. Es que si un jugador tiene que detenerse en 13, lo mejor que le puede pasar es empatar con los otros. Cualquier otro resultado que obtengan los otros competidores es mejor que el de él.

Como se espera de un matemático (supongo) aumenté la apuesta y les propuse entonces que modificaran el ‘piso’ que se autoimpusieron (el número 12), y que buscaran algún número más alto que lo reemplace. Por ejemplo, si en lugar de 12 eligieran el 30 como número a superar, ¿cuál es el número más probable que salga ahora? (3)

(1) Y todas son igualmente posibles.

(2) Esto sucede porque –por un lado– todos los casos son igualmente posibles y, por otro, el número 13 es el que aparece en todos los casos, y esa es la razón por la cual tiene más posibilidades de salir.

(3) Usando el mismo argumento, si en lugar de haber propuesto superar el número 12 uno eligiera el número 30, entonces el resultado con más posibilidades de salir es el 31. En general, si el piso es un número cualquiera X, entonces la suma con más posibilidades de salir es (X+1).