Una de las ciudades más bonitas del mundo es Cannes, en la Costa Azul, en Francia. La razón que le sirve a Cannes para destacarse entre tantas otras que están junto al Mediterráneo, es que todos los años se realiza allí el festival de cine. Obtener un premio en Cannes, significa aparecer en el mapa... al menos, en ese mapa.

El otro día me plantearon un problema que me pareció muy interesante y que justamente involucra al festival y al gran número de películas que se presentan allí anualmente. Quiero compartir entonces la historia. Voy a cambiar algunos datos para que las cuentas sean más fáciles, pero no modificará nada conceptualmente.

Un grupo de cien amigos (entre ellos, no míos), que viven habitualmente en la Argentina son cinéfilos a ultranza, casi fanáticos. Saben todo: nombres de películas, de directores, actores, actrices (y no solamente los principales sino los de reparto también), compositores de los temas musicales, diferentes versiones a lo largo de la historia... y no hace falta que agregue nada más. Supongo que a esta altura usted me entiende. Estos amigos estuvieron juntando dinero durante bastante tiempo para poder asistir al menos una vez en sus vidas al que ellos consideran el festival de cine más importante del mundo. Y al final, lo lograron.

Se fueron a Francia. Llegaron a París y contrataron un micro que los transportó hacia el Mediterráneo y les sirvió para movilizarlos durante toda la estadía. Bloquearon además 50 habitaciones en un pequeño hotel y se decidieron a pasar los “cuatro mejores días de sus vidas”.

El número de películas que se exhiben en Cannes varía todos los años, pero en esta oportunidad se presentarían 50. Como varias de ellas se ofrecían simultáneamente, estaba claro que los cien integrantes del grupo no podrían verlas a todas. Fue por eso que se propusieron asistir a la mayor cantidad posible de manera tal de poder comentarlas después cuando volvieran al país. Diseñaron una estrategia de manera tal que cada película fuera vista por más de la mitad de los integrantes del grupo (51). Es decir, para tener la mayor cantidad de opiniones posibles, decidieron que sea cual fuere la película, más de la mitad del grupo tendría que haberla visto y de esa forma tener más variedad en el momento del análisis que habrían de hacer a su retorno.

Después de días y experiencias intensas (y agotadoras) estaban recorriendo el aeropuerto de Charles De Gaulle y se reunieron por última vez en uno de los bares. Allí fue cuando Selva, una de las integrantes del grupo, de 16 años, hizo el siguiente comentario: “¿Se dieron cuenta que con la distribución que hicimos tiene que haber habido por lo menos uno de nosotros (uno de los 100) que tuvo que haber visto más de la mitad de las películas (o sea, 26 o más)?

¿Será verdad lo que pensó Selva? Aquí le sugiero que siga usted por su cuenta. Yo, mientras tanto, sigo más abajo.

Solución

El problema es interesante porque plantea una situación al revés de lo que se habían propuesto como grupo. Es decir: la idea que tenían era distribuirse de manera tal que cada película –de las 50 que había en exhibición– fuera vista por más de la mitad de los componentes (51 o más), pero de acuerdo con lo que les sugería pensar Selva, habrían obtenido un resultado extra y es que al menos uno de ellos tuvo que haber visto 26 películas (o más), o sea, más de la mitad de las películas. ¿Estará bien?

Le propongo pensar el problema de la siguiente forma. Hagamos de cuenta que las únicas personas que iban al cine en ese festival de Cannes eran los componentes del grupo, ya que lo que sucedía con el resto de los espectadores no tiene ninguna relevancia para lo que tratamos de resolver.

Dicho esto, acompáñeme en estas dos observaciones.

Observación 1: de acuerdo con lo que se propusieron, cada película la habrían de ver por lo menos 51 de ellos (más de la mitad). Como en total se exhibían 50 películas, entre los integrantes del grupo hubo (50 x 51) = 2.550 espectadores como mínimo. ¿Por qué? Tome una película cualquiera: seguro que había por lo menos 51 integrantes del grupo que estaban en la sala. Como esto sucedió con cada una de las 50 películas, entonces entre las 50 funciones hubo (50 x 51) = 2.550 miembros del grupo que estuvieron en esos cines... ¡como mínimo! ¿Por qué pongo como mínimo? Es que podría ser que a alguna de las películas hubieran podido ir los 100 (por ejemplo, a la función inaugural del festival o a la de cierre, en donde no se exhiben otras películas simultáneamente), pero también pudo haber pasado que justamente en esas funciones particulares, la demanda de entradas no les hubiera permitido ir a todos. La garantía que ellos tienen es que siempre hubo por lo menos 51 de ellos en cada función, y como eran 50 películas, al multiplicar 51 por 50 se obtiene 2.550.

Observación 2: supongamos que la observación de Selva fue equivocada y que NO FUERA CIERTO que hubo algún integrante del grupo que vio más de la mitad de las películas. ¿Qué quiere decir esto? Esto significa que cada uno de los 100 amigos que llegaron desde la Argentina vio A LO SUMO 25 películas (ya que si hubiera habido alguno que vio 26, listo... Selva habría tenido razón). Luego, si ninguno vio más de 25 películas, esto dice que entre los 100 integrantes del grupo no pudieron ser más de (100 x 25) = 2.500 personas en los cines. Es decir, como máximo entre los integrantes del grupo, no aportaron más de 2.500 espectadores.

Ahora le propongo que relea las dos observaciones que escribí más arriba. ¿Encuentra alguna contradicción? Fíjese que por la observación (1), como mínimo el aporte de espectadores entre los miembros del grupo fue de 2.550, pero por otro lado, de acuerdo con la observación (2), si lo que dijo Selva fuera falso, se obtendría que como máximo aportaron 2.500. ¡Estos dos números no cierran! Hay algo que está mal.

Justamente, la contradicción se produce porque hemos supuesto que lo que dijo Selva era equivocado.... lo que demuestra que lo que ella dijo... ¡tenía que ser cierto!

Conclusión

Usted debe haber escuchado muchas veces en su vida que algo en matemática se resuelve por el absurdo[1]. Estoy seguro (aunque no la/lo conozco) que usted misma (o mismo) debe haber demostrado la validez de algo que sostuvo en algún momento de su vida usando este método. Es muy posible que nunca lo haya llamado así, y ni siquiera se planteó ponerle un nombre.

Sin embargo, esta herramienta para hacer una demostración es muy sencilla pero al mismo tiempo, muy potente y muy útil. ¿Cómo funciona? A “grandes rasgos”, lo que uno quiere es probar que algo es cierto (como lo que sostuvo Selva). Empieza por suponer que no, que es falso. Avanza con la línea argumental hasta concluir que si eso fuera falso, entonces alguna otra verdad conocida terminaría siendo falsa también. ¿Y por qué pudo haber pasado eso? Bueno, eso habría de pasar porque uno supuso que era falso lo que tendría que ser cierto... y esa es justamente la demostración “por el absurdo”.

[1] El nombre común y más conocido es el “método de prueba por el absurdo”. Para aquellos que tengan un poco más de curiosidad matemática, el nombre “más técnico” es que resulta equivalente probar una “implicación” o la “contra-recíproca”.