Cuando uno habla de la belleza de la matemática, inexorablemente tiene que producir algo precioso que justifique el calificativo.

Lo que sigue es una de las demostraciones más espectaculares y atractivas del teorema de Pitágoras. Créame que si en el momento en que usted o yo nos tropezamos con Pitágoras por primera vez nos hubieran mostrado lo que sigue, no hubiéramos penado ni con el enunciado ni con su estética maravillosa. Es más: créame que ni siquiera hace falta que escriba el enunciado del teorema. Lo va a deducir usted sola/o. Anímese que vale la pena. Acá va la historia.

Hace muchos años, Carmen Sessa –extraordinaria referente en la Argentina en cualquier tema que tenga que ver con la didáctica de la matemática y en la forma de comunicarla– me acercó un sobre con varias demostraciones del teorema de pitágoras. No recuerdo de dónde las había sacado, pero ella estaba entusiasmada al ver cuántas maneras distintas había de demostrar un mismo hecho. Tiempo después supe que hay un libro (The Pythagorean Proposition o “La proposición Pitagórica”) que contiene 367 pruebas de este teorema y que fue reeditado en 1968.

De todas formas, y volviendo a las pruebas que me había dado Carmen, hubo una que me dejó fascinado por su simplicidad. Es más: a partir de ese momento (última parte de la década del ’80) nunca paro de reproducirla cada vez que puedo. Y de disfrutarla. Ahora lo invito a que la comparta conmigo.

Usted no necesita saber nada. Bueno, casi nada. Hace falta que usted sepa lo que es un triángulo, un ángulo recto (de 90 grados) (como si fuera una escuadra) y que sepa que se llama triángulo rectángulo justamente a un triángulo que tiene un ángulo recto. Eso es todo.

Por último, si usted fuera a alquilar una pieza para vivir y le dijeran que es de 4 x 5 , ¿podría contestar usted los metros cuadrados que ocupa? Estoy seguro de que sí (20, tiene razón) ¿Y cómo lo hizo? Lo dedujo multiplicando los dos números: 4 x 5. Bien. Eso es todo lo que hace falta. Bueno, acá voy.

Supongamos que se tiene un triángulo rectángulo que voy a llamar T, y a los lados los voy a llamar a, b y h (figura 1).

Imaginemos que el triángulo T está hecho “pegando” tres hilos. Supongamos que se le puede “cortar” el lado h, y que uno puede “estirar” los lados a y b.

Con este nuevo “lado”, de longitud (a+b), fabricamos dos cuadrados iguales. Cada lado del cuadrado mide (a+b).

Marcamos en cada cuadrado los lados a y b, de manera tal de poder dibujar estas figuras (figuras 2 y 3).

Ahora, observemos en cada cuadrado cuántas veces aparece el triángulo T (para lo cual hay que marcar en un dibujo los cuatro triángulos T en cada cuadrado).

Como los cuadrados son iguales, una vez que hemos descubierto los cuatro cuadrados en cada uno de ellos, la superficie que queda “libre” en cada uno tiene que ser la misma (figura 4).

En el primer cuadrado, quedan dos “cuadraditos” de superficies a2 y b2 respectivamente. Por otro lado, en el otro cuadrado, queda dibujado un “nuevo” cuadrado de área h2.

Conclusión: “tiene” que ser

a2 + b2 = h2

que es justamente lo que queríamos probar: “en todo triángulo rectángulo se verifica que el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos”.

En este caso, los catetos son a y b, mientras que la hipotenusa es h.

¿No es una demostración preciosa? Es sólo producto de una idea maravillosa que no requiere ninguna herramienta complicada. Sólo sentido común.