Donde el Comisario Inspector aclara un par de cuestiones y continua con sus enigmas infinitos

–Sigue sin haber acuerdo sobre la páginas del Libro de arena –dijo el Comisario Inspector–, y hay, en las cartas, bastantes confusiones que, como siempre, la policía tiene que aclarar. En primer lugar hay una confusión con el concepto de cantidad: si un conjunto es infinito y numerable, es decir, infinito como los números naturales 1, 2, 3, 4... etc... conocemos la cantidad: se llama Aleph-cero. Aleph-cero es la cantidad (infinita, desde ya) de los números naturales, de los enteros, de los racionales (y más en general de los números que son raíces de polinomios racionales). La cantidad de los números reales, esto es, los racionales más los irracionales, ya no es Aleph-cero, sino mucho mayor: se llama “c”, o la potencia del continuo. En ambos casos sabemos la cantidad. La segunda confusión es la noción de densidad. Que un conjunto de números sea denso, significa, para decirlo sin recurrir a lenguaje técnico, que un elemento del conjunto siempre tiene a otros elementos infinitamente cerca. Por ejemplo, los números naturales no son densos, ya que el número dos no tiene ningún otro número natural infinitamente cerca. Pero los números racionales entre cero y uno sí son densos, porque una fracción siempre tiene a otra fracción infinitamente cerca. Así, los racionales son densos y los naturales no, aunque la cantidad es la misma: Aleph-cero. Y los reales también lo son, desde ya. Y ahora un enigmita. Imaginemos el siguiente conjunto: 1, 1/2, 1/4, 1/8, etc... Desde ya es numerable. Pero... ¿es denso?

¿Qué piensan nuestros lectores? ¿Es denso?

Correo de lectores

Infinito y no numerable

El Comisario Inspector concluye: no sabemos cuántas páginas tiene el Libro de Arena. Conclusión con la coincido, pero no tanto con su razonamiento, porque si el libro hubiese sido numerado por los naturales en su orden más común tampoco podría saberse cuántas páginas tiene. Por otro lado, creo suponer, que para no dejar mal parado al querido Borges, se dejó influir por la confusión que éste plantea en el primer párrafo del mencionado cuento: enumera infinito natural mezclado con infinito continuo.

La característica esencial que distingue al infinito natural del continuo es la continuidad y no sólo la densidad. Por otro lado el mismo Cantor numeró a los racionales con los naturales con aquel famoso conteo:

1/1 1/2 1/3 1/4 1/5 ...
2/1 2/2 2/3 2/4 2/5 ...
3/1 3/2 3/3 3/4 3/5 ...
..................
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en el cuadro están todos los racionales y el genial Georg los numeró naturalmente con una diagonal zigzagueante comenzando por el vértice.

Silvio Granovsky