Una proporción, primero geométrica y después aritmética, tutela los orígenes de la estética occidental. En las matemáticas pitagóricas, y después medievales y renacentistas, determinadas constantes entre números y formas supieron erigirse en modelos de armonía y en cánones de belleza. Reunidos en el Café Científico organizado por el Planetario Galileo Galilei en La Casona del Teatro, el matemático Ricardo Testoni (Departamento de Matemática, Facultad de Ciencias Exactas y Naturales, UBA) y la historiadora del arte Gabriela Siracusano (Facultad de Filosofía y Letras, UBA) expusieron el martes pasado, y sutilmente disintieron sobre las afinidades electivas y las relaciones peligrosas entre ciencia y arte. ¿Pero qué significan con precisión la expresión proporción áurea y la noción número de oro? Se llama proporción áurea a cierta forma de seleccionar proporcionalmente en un segmento. La representación en números de esta fórmula de tamaños se denomina número de oro (que sería 1,618...). El matemático (y contador) renacentista Luca Pacioli la denominaba “divina proporción”. El artista Leonardo Da Vinci habló, en cambio, de “sección áurea”. Se trataba en ambos casos de definir la división armónica que existe al momento de cortar un segmento en dos partes desiguales de manera que el segmento mayor sea al total como el menor es al mayor. Sobre cómo esta concepción de las proporciones cimienta buena parte de la historia de las artes visuales discutieron Ricardo Testoni y Gabriela Siracusano.
El próximo Café Científico se titula “Geología planetaria: ¿de qué están hechos los planetas?”, y se realizará el martes 21 de octubre.

Todo en proporción
Ricardo Testoni: Voy a contarles la parte matemática de este asunto. Y quiero comenzar dándoles algunos ejemplos con relación a qué significa que algo esté en proporción. Uno de los más fáciles es mirar algo a través de una lupa. Si yo tengo un triángulo, y a ese triángulo lo miro con una lupa, ese triángulo aumenta en un factor R. Se verá entonces un triángulo más grande. Uno de sus lados, entonces, será más grande también, R veces más grande que el triángulo visto sin lupa (y aquí R es el grado de aumento de la lupa). O sea, si un lado que llamo B’ es R veces B, el cociente entre B’ y B va a ser R. Lo mismo sucede con el cociente de los demás lados. Cuando se tienen triángulos donde los lados están en proporción, es decir, que los lados del triángulo tienen la misma razón, tenemos triángulos semejantes. Se trata de un ejemplo clásico de geometría. Se observará que si los lados aumentan gracias al efecto de una lupa, los ángulos siguen siendo iguales. Y existe un criterio para saber si los lados están en proporción o no: consiste en saber si los tres ángulos son iguales o no. Que los tres pares de ángulos sean iguales significa que los lados están en proporción (claro, también basta saberlo con dos pares de ángulos, porque sabemos lo de sus 180 grados). Otro ejemplo nos lo da un rectángulo. Si aumento un lado en un factor R, me va dar un nuevo rectángulo en donde los lados están en proporción. También aquí la razón de la proporción lo dará el aumento de la lupa. Otro ejemplo es el del mapa. Si alguien mide uno de los lados rectos de Buenos Aires en un mapa, y lo divide por la verdadera distancia, ¿cuál es el cociente? La escala del mapa. Precisamente, la gracia de que un mapa sea la representación de una región radica en que el cociente se mantenga parejo, sin importar las distancias. Lo mismo ocurre cuando uno crece. ¿Por quénos parecemos de algún modo a cuando teníamos, digamos, diez años? Si uno toma los cocientes de la longitud del brazo, por ejemplo, se mantienen iguales al cociente de la longitud de las piernas. Hay excepciones, por supuesto. Y la panza es una de ellas, que de pronto pierde proporciones y crece y crece. Hay ejemplos caseros, cuando cocinamos dos tortas, en donde debemos duplicar la cantidad de huevos para mantener la proporción de los materiales que dicta la receta. Ahora, sin embargo, quiero hablarles de cómo podemos pensar que se introduce en la cabeza de las personas la idea de una proporción áurea. Si tomamos un segmento y le marcamos tres puntos, estoy imponiéndole tres magnitudes, precisamente las que van del primer punto al segundo, del segundo al tercero, y por último la magnitud que ofrece su totalidad. La longitud del segmento total que en este caso llamo A, una longitud que llamo B y el resto que llamo C y que puede sacarse restando A de B.

Existen, sin embargo, unas quince proporciones válidas en relación con esto, aproximadamente. Habría que hacer la cuenta. Porque hay muchas que no tienen sentido geométrico. Sólo quedarán, en cuanto a las válidas, dos grupos que se pueden reducir a una fórmula: A es a B como B es a C. Es decir, el todo es a la parte más grande como la parte más grande es a la más pequeña. A, es decir, la longitud total, es a B como B es a C. Y el cociente que da esto, justamente, es el número de oro, que puede expresarse como “phi”, y que proviene de Phidias (490-430 a.C.), el escultor griego entre cuyas obras se encuentra el Partenón. El número de oro tiene una propiedad curiosa y es la siguiente: para obtener su cuadrado sólo hay que sumarle un 1. No haré la cuenta, pero voy a comentar lo siguiente: si uno quiere obtener su inverso, o sea 1 dividido phi, sólo hay que restarle una unidad. Es interesante que uno pueda sacar fórmulas donde aparecen los números de Leonardo Fibonacci (1175-1240) para saber cuánto vale la potencia enésima de phi. Se trata de fórmulas muy sencillas. Es ésta, la que di, una definición geométrica del número de oro, esperable en la Grecia antigua, pues no tenían un lenguaje aritmético sistematizado.

Belleza matemática
Gabriela Siracusano: Yo les voy contar cómo se inscribe culturalmente esta idea de proporcionalidad o más bien cómo se instala en diferentes momentos en Occidente. Porque Occidente, hoy nadie lo ignora, construye sus imágenes en determinados momentos de la historia tomando en cuenta esta proporcionalidad, esta proporción áurea. En las primeras civilizaciones, en Egipto y sus pirámides, se puede ver el uso de la proporción áurea. Yo quiero instalarme entonces en un momento paradigmático y emblemático porque es un momento en el cual Ciencia y Arte cobran una comunión especial. Comunión que se va a retomar muchos siglos más tarde. Acá veo unas sonrisas. Sí, me estoy refiriendo a Grecia. Les quiero presentar una imagen griega, que no es griega sino del Renacimiento. Se trata de la Escuela de Atenas de Rafael (1483-1520). Y acá aparecen varios personajes, entre ellos el personaje Pitágoras. O el personaje Euclides, que fue quien inventó la geometría euclidiana. Pero también está Ptolomeo. Y, por supuesto, están Platón y Aristóteles. A mí me interesa Pitágoras. Porque Pitágoras fue uno de los que va tomar en cuenta este concepto matemático anclado en la proporción, en la idea de belleza, de armonía. Esto, se sabe, va a transformarse en Occidente en uncanon. Un canon que transitó toda la historia de Occidente. Aun hoy lo ancla y lo transita.

El arte de los números
Siracusano (continúa): Pitágoras propuso un estudio de las proporciones en la música. Ya habrán escuchado hablar de la “música de las esferas”, retomado en la Edad Media. Phidias utilizó la sección áurea en el siglo V a.C. Ahora les quiero hablar del Partenón. En sus esculturas se pueden ver lo que luego se llamará proporción divina. Se trata de una denominación posterior que se ubica en el Renacimiento. Pero, atención, porque Platón hablaba de esta sección áurea como formando parte de la física del cosmos. Y esto está unido indisolublemente a un criterio de belleza. De hecho, la palabra cosmos tiene una acepción estética: lo que conocemos como cosmética. A mí me interesa mostrar cómo se instala esta idea de proporcionalidad en un momento en que, precisamente, se retomarán muchos de los conocimientos de la Grecia Clásica. Hablo, como habrá quedado claro, del Renacimiento. Allí se da una situación muy particular, y es que se introduce nuevamente por la vía del Islam la lectura y la traducción de una gran cantidad de escritos griegos. Esta inclusión de las matemáticas, de la proporción, tiene que ver con una idea que, en fin, está popularizada en el caso del arte, la del Gran Genio Artista que además era matemático y casi por divina inspiración llega a crear obras con esta idea de divina proporción: el caso paradigmático es Leonardo Da Vinci (1452-1519). Sin embargo, muchos de los pintores del Renacimiento fueron matemáticos, geómetras o físicos. Y tengo que decirles que ellos no generaron sus obras de manera espontánea sino que estaban anclados en un momento muy particular, histórico, en el cual se da una matematización de la naturaleza. A mí me gusta llamarlo así. Es decir, se trata de una cuantificación de la vida cotidiana. No nos olvidemos de que aquí entran varias variables. Por ejemplo, que se comienza a medir las tierras por una cuestión que podemos llamar económica. Aparece la figura del agrimensor. Les estoy hablando del siglo XV o XVI. Aparece también la figura del ingeniero. Se miden las tierras y se produce un avance de la burguesía, que justamente separa y divide tierras. Pero, además de las tierras, se miden los cielos. Y los cielos se miden para orientar la navegación. Y la navegación tiene que ver con el avance y el control del territorio para el comercio, el control político, etcétera. Vemos cómo esta inclusión de las matemáticas, que a una le llama la atención que estén incluidas en el arte, tiene que ver con una inclusión en la vida cotidiana. Es un momento en que la gente debe saber medir, pesar. Es un momento en que se comienzan a sistematizar las mediciones. Ya se sabía perfectamente cómo se medían los toneles para los granos. Es el momento en el cual aparece la regla de tres simple que tiene que ver con la idea de proporción. Es el momento en donde aparece la tabla de doble entrada de contabilidad: una tabla que ya se usaba, pero que sistematiza Luca Pacioli (1445-1517). Es él quien va a escribir un libro llamado De divina proportione, ilustrado nada menos que por Leonardo. Pero también es éste el momento en que aparece el sistema perspectivo, que es un método para representar la tercera dimensión en el plano. Es decir, el arte va siempre de la mano de una concepción de la realidad, una idea del espacio y del mundo. Un pintor que se ocupa cada vez más de las proporciones es Giotto Di Bondone (1266-1337). Y en la inclusión de las matemáticas en la pintura se promueve a la propia pintura. Ustedes saben que la pintura hasta avanzado el siglo XVI o XVII estaba por fuera de las llamadas artes liberales. La pintura y la escultura guardaban aspectos que no las ennoblecían, pues estaban ligadas al aspecto manual. El elemento entonces que le permite a la pintura ingresar al canon de las artes liberales es un fundamento matemático: la perspectiva matemática que es la proporción áurea. Fibonacci trabaja conuna serie numérica que guarda relación con la sección áurea. Hubo artistas como Leonardo Da Vinci que utilizaron la serie de números de Fibonacci. O puedo nombrar a Filippo Brunelleschi (1377-1446), que con su Duomo de Florencia instaló en el diálogo de la época el trabajo del método perspectivo. Esto, por supuesto, genera aún hoy la impresión de que las imágenes replican la realidad, o la reflejan. Y no es casual que esta concepción entre en crisis en el siglo XX, con el auge de nuevos modelos de representación. Pensemos también en las obras de Pieter Brueghel (1530-1569) o en la recuperación de la cartografía de Ptolomeo. O en los mapas que se confeccionan. Otro artista que utilizó y tuvo vínculos con Pacioli es Piero Della Francesca (1416-1492), en muchos de cuyos cuadros aparece la sección áurea. O Paolo Uccello (1397-1475), que fue un enfermo de las matemáticas y recupera siempre los números de Fibonacci. En La cena de Leonardo, por ejemplo, se ha encontrado la sección áurea, o en La anunciación. Es interesante ver cómo a fines del siglo XIX y principios del XX algunas escuelas o artistas recuperan la sección áurea como en el caso de Seurat y sus bañistas, o Mondrian, o aquí mismo en la Argentina con la llamada pintura concreta de los años ‘40 y ‘50. Matisse, por supuesto, o Dalí. O Le Corbusier, que utiliza la sección áurea para aplicarla con relación a la arquitectura. En el edificio de las Naciones Unidas en Nueva York se tuvo en cuenta también a la sección áurea. O incluso se da en las tarjetas de crédito o en los documentos de identidad. En lo que quiero insistir es en que a lo largo de la historia de Occidente –y han quedado muchas cosas afuera– este problema de armonía, de un canon de belleza, se ha trabajado de distintos modos y todavía hoy permanece activo.

Compases de oro
Testoni (continúa): Ahora quiero comentarles algunas propiedades que tiene el número de oro. Son propiedades geométricas y me voy a basar en un elemento que se llama “compás áureo”. Yo al menos lo llamo así. Se trata de un compás cuyos dos segmentos –es decir, las dos patas del compás– se cortan según la proporción áurea. Sucede que cada vez que yo abro el compás, se forman dos triángulos, uno más grande y otro más chico y que se da por el lugar que elegí para unir sus varillas. Los triángulos entonces son semejantes porque tienen los mismos ángulos en la misma proporción. Y es una proporción que es justamente phi, el número de oro. Las distancias que resultan de las aberturas de ambos ángulos siempre van a estar en proporción dorada. Esto, que parece muy abstracto, les sirve a los pintores para determinar segmentos áureos en sus lienzos o en sus figuras, a las que dan proporciones áureas. Tomemos el pentágono, por ejemplo. El pentágono (y esto ya era utilizado por Pitágoras, que lo usaba como una especie de símbolo o contraseña) tiene una propiedad muy particular. Cualquiera sea el pentágono, las diagonales se cortan en segmentos áureos. Una diagonal corta a la otra en proporción áurea. En una pintura de Jan Vermeer (1632-1675), La carta de amor, por ejemplo, se encuentran muchas proporciones áureas. Y las encontramos allí con relación a cambios de color, o de profundidad, o de perspectiva. O con relación, incluso, a la longitud del propio lienzo. También encontré proporciones áureas, pero en un solo cuadro, de Vincent van Gogh (1853-1890), que se llama El dormitorio de Van Gogh. He encontrado una proporción áurea en un puñal egipcio del tercer milenio antes de Cristo, cuya empuñadura y cuya hoja están, efectivamente, en proporción áurea.