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En disidencia
Queridos amigos de Futuro: escribo con referencia a la pregunta planteada hace una semanas y la respuesta dada por Daniel Lischinsky. La “mostración” de éste no es una demostración, tal como está planteada, porque no hay garantía lógica alguna de que se pueda seguir siempre agregando los cuadrados de la misma manera (por más que resulte “obvio”). Para convertirla en una demostración, habría que hacer algún tipo de argumento por inducción matemática: demostrar que si para formar un cuadrado tenemos que agregar un número impar de puntos, para formar el siguiente cuadrado tendremos que agregar el número impar siguiente. Esto puede hacerse, pero me parece más directa una demostración aritmética, que expongo a continuación:
La diferencia entre un cuadrado n2 y el siguiente (n + 1)2 es:
(n + 1)2 - n2 = (n2 + 2n + 1) - n2 = 2n + 1,

es decir, un número impar. Al aumentar n en una unidad, la diferencia pasa a ser 2n + 3, es decir el número impar siguiente. Es decir, las diferencias entre los cuadrados sucesivos son los números impares sucesivos.
Alejandro Satz

otra demostracion
Estimados Comisario Inspector y Kuhn: Sorprendido de que no hayan enviado ninguna demostración al enigma de la semana anterior, aquí les mando una.
Debemos demostrar que la suma de los n primeros números impares es igual a n2 para cualquier valor de n. Es fácil verificar que esto ocurre para el comienzo de la serie:

1 = 12, 1 + 3 = 22, 1 + 3 + 5 = 32, 1 + 3 + 5 + 7 = 42...

y así podríamos seguir hasta el cansancio o hasta convencernos. Pero aún es posible que exista gente tan desconfiada como para creer que en algún momento esto puede fallar. Y en rigor tendrían razón, ya que a la matemática se le exigen demostraciones rigurosas y no basta, como en otras ciencias, con unos cuantos “experimentos”, por muchos que sean.
Una forma de aliviar el trabajo sin tener que sumar todos los impares cada vez, sería aprovechar en cada caso el resultado del término anterior, y sumarle el impar siguiente. Entonces, la proposición formulada quedaría confirmada si logramos demostrar que esta ley sigue hasta el infinito, es decir que siempre

n2 + (2n + 1) = (n + 1)2, (n = 0, 1, 2, 3...)

lo que queda automáticamente hecho, ya que el primer miembro de esta igualdad no es otra cosa que el desarrollo del cuadrado del binomio del segundo.
Un cordial saludo
Gustavo Soprano

Ciencia Hoy
La carta de Daniel Lischinsky (Futuro, 6/4/02) me ha sorprendido gratamente, ¡es una prueba a favor del platonismo matemático! En efecto, a menos que D. L. estuviera informado previamente sobre aspectos de la matemática griega preeuclídea... ha utilizado métodos pitagóricos para el análisis de un problema de la teoría de números. Creo que aquí tenemos una evidencia más de que los matemáticos no “hacen” matemática sino que la “descubren” (¡¡platonismo auténtico!!).
Por otro lado, les comento que CIENCIAHOY suele aparecer en el puesto de revistas ubicado junto a la salida por escalera del subte de la estación Retiro. También en algunos puestos de revistas de la Avenida de Mayo. Para mayor seguridad sugiero dirigirse a:
CIENCIAHOY
Av. Corrientes 2835, cuerpo A, 5 Piso “A”
Tel. 4961-1824/4962-1330, [email protected]
Eduardo Felizia