Los números naturales: 1, 2, 3, 4, y así, son una gran familia, que como todas las familias tienen sus secretos. Uno de los dolores de cabeza más graves de esta familia son los primos: es decir, aquellos números que sólo son divisibles por ellos mismos y por uno. La lista comienza con el 2 y de ahí sigue: 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31... Y aunque parecen muy simplones, no lo son en absoluto: basta decir que no hay fórmula ni patrón (hasta ahora conocido) que describa o prediga la aparición y la distribución de los números primos en la serie de los naturales. Lo único que se sabe es que su frecuencia disminuye a medida que se avanza: entre los diez primeros números hay cuatro primos –2, 3, 5 y 7–, y entre el 200 y el 230, por ejemplo, sólo cuatro (211, 223, 227 y 229). Resulta que no hay fórmula que dé de un saque todos los números primos. Ni siquiera hay una fórmula que dé siempre números primos, aunque no sean todos. Probablemente el primero que trató de encontrarla (en vano) fue Euclides (siglo IV a.C.). Al menos, lo que hizo fue probar, en su obra Elementos, que los números primos son infinitos.
Desde entonces, los matemáticos han intentado encontrar un orden en el continuo avance de su secuencia. La lista de nombres es –como los primos– extensa: Eratóstenes, Mersenne, Fermat, Euler, Gauss, Erdös... Algunos estudiaron gráficamente su distribución: es el caso de Stanislaw Ulam (1909-1984), que intentó visualizar la serie arreglando los números naturales en forma de espiral (empezando con el 1 en el centro, a la derecha el 2, arriba el 3, a su izquierda el 4 y así, infinitamente). En el gráfico resultante, Ulam identificó líneas verticales y horizontales de números primos. Aunque no logró dar con un patrón para encontrarlos, sí pudo advertir su particular distribución espacial.
Hay quienes se centraron en las distancias que separan a dos números primos. Tal es la técnica que utilizaron recientemente los miembros de un grupo de físicos de la Universidad de Boston, Estados Unidos. El equipo (que en realidad buscaba averiguar el ritmo de los latidos del corazón) estudió el incremento del intervalo entre primos consecutivos. Por ejemplo, entre los primeros (del 2 al 13), los intervalos son de 1 (entre 2 y 3), 2 (entre 3 y 5), 2 (entre 5 y 7), 4 (entre 7 y 11) y 2 (entre 11 y 13). Y los incrementos de estos intervalos son: +1, 0, +2 y -2. Ahora bien, según sostienen los investigadores, estos incrementos no se distribuyen al azar sino que encierran, de alguna manera, cierto orden: valores positivos son seguidos por valores negativos.
Los matemáticos Dan Goldston (Universidad San José, Estados Unidos) y Cem Yildrim (Universidad Bogazici, Turquía) eligieron la misma técnica pero para averiguar la frecuencia de los números primos gemelos, esto es, aquellos que difieren en 2 (por ejemplo, 17 y 19, 29 y 31, o 1.000.000.000.061 y 1.000.000.000.063). Uno de los enigmas más interesantes en este campo gira en torno de la cantidad de estos números: según expresa la Conjetura de los primos gemelos, hay infinitas parejas, pero hasta ahora nadie pudo demostrarla o refutarla. Al parecer, Goldston y Yildrim lo hicieron. En su trabajo titulado “Small gaps between consecutive primes” (Pequeñas brechas entre primos consecutivos”), los matemáticos anunciaron la demostración de que estos números son infinitos.

Números monstruosos
La fórmula “mágica” para conseguir todos los números primos (o por lo menos una fórmula que diera números primos) se buscó ávidamente durante siglos y todos los intentos fracasaron. Una de las más famosas es la fórmula de Mersenne (en honor al monje y matemático francés Marin Mersenne, del siglo XVI): 2p -1. Sin embargo, es obsoleta pues a veces danúmeros primos (cuando p vale 1, 2 o 3) y a veces, no (por ejemplo, cuando p vale 4). Aun así, Mersenne logró cierto reconocimiento ya que todos aquellos números primos que se obtienen mediante esa fórmula llevan su nombre. Hasta ahora se encontraron 39 “primos de Mersenne”: el último es 213.466.917 - 1 (que tiene 4.053.946 cifras) y se “pescó” en noviembre de 2001. Es más: existe una organización (llamada Gimps, Great Internet Mersenne Prime Search) que, a través de un programa (que se baja en www.mersenne.org), busca números primos aún más grandes: ofrece una recompensa de 100.000 dólares para el que encuentre el “primo de Mersenne” de diez millones de dígitos. Los lectores sabrán qué hacer.

De espias y extraterrestres
Estos numerejos, que hace siglos divierten a los matemáticos a la vez que les generan varios dolores de cabeza –pero todo autoriza a suponer que a los matemáticos les gustan los dolores de cabeza–, parecían de lo más inútiles y sin aplicación –pero también todo autoriza a suponer que justamente por eso a los matemáticos les encantaban–. Sin embargo, desde hace un par de décadas son la base de los sistemas de transmisión de mensajes secretos (criptografía). Aunque sin duda, uno de los usos más exóticos es el que se les da en la detección de señales de civilizaciones extraterrestres. En la película Contacto (basada en el libro de Carl Sagan), una de estas civilizaciones envía en un mensaje de radio una larga secuencia de números primos demostrando así su inteligencia, ya que los números primos no se corresponden con ningún fenómeno natural. Los primos también sirven en sentido inverso: el 16 de noviembre de 1974 se envió un mensaje a los extraterrestres desde el Radiotelescopio de Arecibo (Puerto Rico) hacia M13 (un cúmulo de 300.000 estrellas a 25.000 años luz de la Tierra). El mensaje de Arecibo (ver imagen), como se lo conoce, se mandó codificado en forma de una sucesión de 1.679 bits. Lo único que tienen que hacer los extraterrestres para leer el “telegrama estelar” es detectar que dicha cantidad de ceros y unos es el resultado de multiplicar dos números primos (73 y 23).
En fin, los números primos son una muestra más de la fascinación humana por lo desconocido y por lo que no puede o no sabe controlar. Y demuestran –una y otra vez– que la matemática (considerada por muchos como un lenguaje de lo más universal y bello) guarda más secretos de los que alguna vez los simples mortales puedan soñar.