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¿Alguna vez se preguntó cuál fue el “juguete” que más se vendió en la historia de la humanidad? ¿Cuáles podrían ser los candidatos? Pelotas y muñecas deberían estar muy arriba en el podio, ¿no?

No sé si es posible dar una buena respuesta. En todo caso, yo no la tengo, pero sí me sorprendió saber que hay uno del cual se vendieron más de ¡350 millones de copias en los últimos 32 años!

Me estoy refiriendo a un cubo. Sí, a un cubo. No un cubo cualquiera, pero un cubo al fin. Erno Rubik era un escultor y profesor de arquitectura húngaro, que enseñaba en la Academia Nacional de Arte Aplicado en Budapest, Hungría, y había nacido en julio de 1944, hijo de una madre poeta y un padre ingeniero aeronáutico. Corría el año 1974, época en la que no había computadoras personales ni programas que permitieran reemplazar los diseños manuales.

Rubik tenía ante sí uno de los desafíos a los que se enfrentaban los de su época (y la mía): lograr que sus alumnos pudieran “imaginar” objetos en tres dimensiones y ser capaces de visualizar –entre otros movimientos– sus posibles rotaciones y simetrías. Como se sentía impotente y frustrado, diseñó en su casa un cubo, formado por pequeños “cubitos”. Cada una de las caras del cubo grande (y por lo tanto los nueve cuadraditos que la componen) tenía un color asignado: blanco, rojo, azul, naranja, amarillo y verde. La particularidad del diseño es que cada cara externa y el “anillo central” puede rotar independientemente del resto. Esto lo logró Rubik con un mecanismo interno que le permite “pivotear” y lograr múltiples configuraciones. Y así nació el Rubik Cube o Cubo Mágico.

Rubik lo patentó en 1975 y recién en 1977 se empezó a comercializar en Hungría y en 1980 se expandió al mundo entero. Su estreno internacional se hizo en distintas Ferias del Juguete, en Londres, París, Nuremberg y Nueva York, y eso sucedió entre enero y febrero de 1980. A partir de allí, su evolución fue imparable. Rubik se transformó en multimillonario en forma casi instantánea.

Si usted le dedica un rato a buscar en YouTube, es posible encontrar más de 46 mil videos con instrucciones y soluciones de distinto tipo, y el video que figura en la página web http://www.youtube.com/ watch?v=HsQIoPyfQzM ya tuvo más de ¡22 millones de visitas!

De hecho, ya se ha generado una cuestión de culto, con seguidores incondicionales, seminarios en distintas partes del mundo y hasta una página oficial para todos los fanáticos: http://www.rubiks.com/

El Rubik Cube tiene además un lugar en el famoso Museo de Arte Moderno de Nueva York.

El cubo

El cubo en sí mismo consiste de 27 “minicubos” con una distribución de 3 de alto por 3 de largo por 3 de ancho. En la práctica hay sólo 26 de estos pequeños “cubitos”, ya que el que debería ocupar el lugar del centro, el único que no tiene una cara exterior o que se pueda ver desde afuera sin desarmarlo, está reemplazado por el mecanismo que es el que le permite al Cubo Mágico pivotear y hacer todos los movimientos. Ese fue el gran logro de Rubik.

Los 26 cubitos no son todos iguales: hay ocho “cubos esquinas”, doce “cubos aristas” y los seis restantes ocupan los lugares del centro de cada cara exterior y están fijos. Y acá empiezan algunos cálculos. Hay 40.320 maneras[1] de permutar los cubos que están en las esquinas. Siete pueden ser orientados independientemente y el octavo depende de los otros siete, por lo que hay 37 = 2,187 posibles distribuciones.

Hay además 239.500.800 formas de intercambiar las aristas[2]. Y a esta conclusión quería llegar: el número total de posiciones a las que uno puede llegar rotando el cubo es de 43.252.003.274.489.856.000. Es decir, un poco más de 43 trillones, o lo que es lo mismo, el número 43 seguido de ¡18 ceros! Para tener una idea de lo enorme que es este número, piense que si usted pudiera probar un millón de configuraciones por segundo, tardaría casi un millón y medio de años para probarlas todas. Son muchas.

La mística

Varios millones de personas en el mundo se desafían para ver quién puede resolverlo en la menor cantidad de tiempo y en la menor cantidad de pasos. Pero, ¿qué quiere decir resolverlo?

Llamemos “posición original” a la que presenta el cubo con cada una de las seis caras con un color que la distinga. Imagine que yo “desarreglo” esa configuración hasta llevarla a cualquier otra. Más allá de jugar a llevarlo al punto de partida, las preguntas que surgen son:

a) ¿Cuál es el número mínimo de movimientos necesarios para garantizar (o asegurar) que uno puede llevar el cubo, desde cualquier posición, hasta la original?

b) ¿Cuál es el tiempo mínimo para hacerlo empezando con cualquier configuración?

Son dos preguntas de distinto orden de dificultad. Contestar la primera significa elaborar una estrategia que sirva siempre para minimizar el número de rotaciones. La segunda pregunta involucra aprender la estrategia diseñada eventualmente por otro, y tener una destreza manual que la primera no requiere y ni siquiera considera.

Por supuesto que no se me escapa que la abrumadora mayoría de las personas se sentirían satisfechas con sólo resolver el cubo en una dada situación y listo. Es decir, enfrentados con una posición cualquiera, llevarlo a la posición inicial, que tiene cada cara de un solo color.

Sin embargo, para los matemáticos, ingenieros, diseñadores de estrategias y algoritmos, contestar la primera pregunta resulta relevante.

Hasta febrero del año 2012 no hubo una respuesta final, pero sí algunos datos parciales. Sígame porque es interesante. Se sabe que hay ciertas configuraciones para las que inexorablemente se necesitan 20 movimientos para llevarlos a la posición inicial o de base. ¿Qué dice esto? Dice que el día que se encuentre el mínimo tendrá que ser mayor o igual que 20. Recuerde que lo que se busca es encontrar el número mínimo de movimientos que resuelva cualquier posición.

Pero por otro lado, y esto es lo que hace fascinante la búsqueda, Gene Coopman y Dan Kunkle, dos matemáticos de la Northeastern University en Illinois, Estados Unidos, demostraron que 26 movimientos son suficientes para garantizar que se pueda volver desde cualquier posición a la original. Por lo tanto, el mínimo que se busca está entre 20 y 26.

El hecho de que haya una grieta entre 20 y 26, aunque sea muy pequeña, no deja satisfecho al mundo de la matemática. Hasta que no se llegue a la situación en la que ambos coincidan, no se podrá decir que el problema está resuelto.

¿Y para qué podría servir?

Se han encontrado múltiples formas de resolver el Cubo Mágico y la mayoría, en forma independiente. La más popular durante un tiempo fue la desarrollada originalmente por David Singmaster, un matemático norteamericano profesor en Londres en la Universidad de South Bank, que publicó su solución en 1981 en el libro Notes on Rubik’s Magic Cube (Notas acerca del Cubo Mágico de Rubik).

Sin embargo, fue Jessica Fridrich, también doctora en matemática, nacida en la ex Checoslovaquia y luego emigrada a Estados Unidos, quien diseñó la estrategia más reconocida mundialmente hasta hoy. Jessica es investigadora en la Universidad de Binghamton, en el estado de Nueva York.

Lo interesante es que su trabajo es reconocido mundialmente no solamente por haber elaborado los algoritmos más eficientes que se conocen hasta hoy para resolver el Cubo Mágico, sino que ahora vive con otra obsesión que pretende resolver usando lo que aprendió en su experiencia con el Rubik Cube: dada una fotografía cualquiera, ser capaz de recorrer el camino inverso y descubrir ¡cuál fue la cámara que se utilizó para obtener la foto! Parece una tarea imposible, pero en particular el FBI, y otras agencias equivalentes, quieren utilizar los resultados para descubrir a personas que se dedican a la trata de personas o a la pornografía infantil.

Por último

Hay varias competencias internacionales para ver quién “resuelve” el cubo más rápidamente. El primer campeonato mundial del que se tiene registro se hizo en Munich en 1981, y fue organizado por la Guía Guinness de Records. A cada participante se le entregó un cubo que había sido “movido” de su posición inicial 40 veces y lubricado con vaselina y aceites que hicieran más fáciles las rotaciones. El ganador logró volver el cubo a su posición original en 38 segundos. Pero eso pasó hace mucho tiempo. Cuando Jessica Fridrich ganó la competencia que se hizo en 1982 en la ex Checoslovaquia, lo hizo en un poco más de 23 segundos. Hoy, treinta años más tarde, ese record ha sido pulverizado múltiples veces: Feliks Zemdegs, de Australia, es el rey en vigencia: lo resolvió en ¡5,66 segundos! (en julio del 2011), en Melbourne.

En definitiva, un prototipo inocente, diseñado por un profesor húngaro para ilustrar a sus alumnos, terminó transformándose en el juguete más vendido de la historia, con millones de personas en el mundo cautivadas y atraídas con distintos niveles de fanatismo: algunos (supongo que la enorme mayoría) sólo para entretenerse, otros para investigar cómo resolver el problema general en una cantidad mínima de pasos y otros tantos para exhibir su destreza manual.

En cualquiera de los casos, es un ejemplo más de la capacidad creativa del hombre y un canto a la imaginación.

[1] Estas permutaciones están contadas por el número 8! (el factorial del número 8) = 40.320.

[2] Esto resulta de dividir el factorial del número 12 por 2, o sea 12!/2 = 239.500.800, ya que además una permutación impar de las esquinas genera una permutación impar de las aristas también. Hay once aristas que se pueden intercambiar en forma independiente, pero la duodécima depende de los movimientos de las otras once, y por lo tanto se tienen 211 = 2048 posiciones posibles.