Días después de asumir, el papa Francisco visitó a Mejía en el hospital donde estaba internado en terapia intensiva y desde entonces estaba "gravemente enfermo", según dijo recientemente el vocero vaticano, el padre Federico Lombardi.

Había sido ordenado sacerdote el 22 de septiembre de 1945 y tuvo una extensa carrera docente y académica. En 1966 fue designado director de la Comisión de Ecumenismo del arzobispado de Buenos Aires y, al año siguiente, se convirtió en secretario del Departamento de Ecumenismo del Consejo Episcopal Latinoamericano (CELAM).

Durante el Concilio Vaticano II se desempeñó como perito y en 1977 el papa Pablo VI lo designó secretario de la Comisión Pontificia para las Relaciones Religiosas con el Judaísmo. El papa Juan Pablo II , de quien fue compañero de estudio, lo distinguió en 1979 con el tí­tulo de Capellán de Su Santidad y fue también bajo ese pontificado que Mejí­a fue promovido a arzobispo, el 4 de marzo de 1994, y finalmente creado cardenal el 21 de febrero de 2001.

En 1998 comenzó su carrera como archivero y bibliotecario en la Santa Sede, un puesto que mantuvo hasta jubilarse, en 2003, cuando tení­a 80 años.