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El 23 de enero del año 2005 hizo su debut televisivo en horario central una serie que pocos sospecharon que tendría tanto éxito: Numb3rs. Si bien aparecían todos los ingredientes que suelen atrapar a las grandes audiencias (crímenes, persecuciones policiales, incógnitas a develar, dramas pasionales, distintos niveles de corrupción y una larga lista de etcéteras), aparecía un componente totalmente inesperado: uno de los héroes era un matemático, Charles Eppes [1].

Pero Charles no estaba solo. En la ficción, era el hermano menor de Don, un agente del FBI, a quien ayudaba usando la matemática para descubrir, identificar y atrapar a los criminales. La serie culminó el 12 de marzo de 2010 y representó la primera aparición de un matemático en un lugar tan protagónico dentro de la televisión norteamericana, con la obvia incidencia que tiene en todo el mundo (occidental al menos).

Los capítulos exhibieron la potencialidad de distintas herramientas que provee la matemática para entender los patrones que aparecen en la vida real y, por otro lado, pusieron de manifiesto la potencia extraordinaria que permite su uso.

Lo que quiero hacer aquí es extraer un segmento de uno de los episodios [2], proponerle a usted que haga de “detective” y, luego, analizar juntos si sus conjeturas son válidas. Acá va.

En una pequeña ciudad hay dos compañías de taxis: los Amarillos y los Negros. Como la población no es muy importante, el número de vehículos tampoco lo es: los amarillos son 15 y los negros 75. A los efectos del planteo del problema (que por supuesto involucra condiciones que uno considera “ideales”), podemos suponer que los 90 taxis estaban circulando en el momento en que se produce el accidente que paso a relatar.

Un testigo ve el accidente y dice que un taxi amarillo fue el culpable. Ante un requerimiento de la policía, el testigo se somete a distintos tests para detectar cuán confiable es su visión, teniendo en cuenta las condiciones que rodearon el episodio (de noche, con poca visibilidad, con una garúa pertinaz) y cuando se le presentaron aleatoriamente taxis amarillos y negros, demostró que los pudo identificar correctamente 4 de 5 veces. O sea, en sólo una de cinco veces confundía uno amarillo con uno negro y viceversa.

Ahora, le pregunto: si usted estuviera investigando el caso, y tuviera los datos que figuran más arriba, ¿de qué color cree que era el taxi?

Como siempre, la/lo invito a que se detenga un rato, lea el planteo del problema, y sin apuro piense qué le parece que es lo más probable que haya pasado: ¿fue amarillo o negro el taxi involucrado en el accidente?

Ahora sigo yo. La tentación es contestar: “Vea, si el testigo acertaba en cuatro de cinco veces (el 80 por ciento) el color del taxi, y como dijo que él vio un taxi amarillo, entonces, es un 80 por ciento probable que el taxi fuera de color amarillo. ¡Qué duda cabe!”.

Bueno, caben muchas dudas. Y ahora le pido que me acompañe en este razonamiento. Analicemos juntos las distintas posibilidades. Es decir, voy a escribir todos los casos posibles (que en total son cuatro):

1) que el taxi fuera amarillo y que el testigo lo distinguiera correctamente.

2) que el taxi fuera amarillo y que el testigo se equivocara y dijera negro.

3) que el taxi fuera negro y que el testigo lo distinguiera correctamente.

4) que el taxi fuera negro y que el testigo se equivocara y dijera amarillo.

En el caso (1), como hay 15 taxis amarillos, y el testigo distingue correctamente el 80 por ciento de los vehículos, eso quiere decir que acertaría en 12 casos (ya que el 80 por ciento de 15 es 12).

En el caso (2), el testigo se equivocaría diciendo negro cuando es amarillo en el 20 por ciento de las 15 veces que los viera, o sea 3 veces.

En el caso (3), como hay 75 taxis amarillos y el testigo distingue correctamente el 80 por ciento de los vehículos, acertaría el 80 por ciento de 75, que es 60.

Y en el último caso, el (4), el testigo se equivocaría en el 20 por ciento de los 75, es decir en 15 oportunidades, y diría que lo que vio es un taxi amarillo cuando en realidad es negro.

Resumo todo ahora.

Taxi Color	Número total	Acierta	Se equivoca
Amarillo	15	12	3
Negro	75	60	15

Es decir, el testigo diría amarillo en 27 oportunidades: 12 serían correctas y 15 incorrectas. Luego, la probabilidad de que acierte se calcula dividiendo 12 por 27 [3].

Y ahora, fíjese entonces que

12/27 = 0,44....

O sea, que el testigo acierta en un poco más del 44 por ciento de las veces. ¡Es más probable que el taxi sea negro que amarillo!

Y a eso quería llegar. La tentación inicial era decir que de acuerdo con los datos, el taxi tenía un 80 por ciento de posibilidades de ser amarillo, pero cuando uno estudia el caso en forma global, incluyendo toda la información que tiene, descubre que la conclusión inicial es equivocada.

Una vez más, la matemática sirve de ayuda esencial para esclarecer una situación que de otra forma terminaría incriminando a un inocente. Cada vez me parece más imperioso empezar a enseñar el estudio de probabilidades y estadística en los estamentos iniciales de las escuelas. Quizás en otra época no era tan necesario (y no estoy tan seguro), pero abordar temas de matemática combinatoria, y su consecuente aplicación a la vida cotidiana, empieza a transformarse en cada más imprescindible para la educación.

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[1] David Krumholtz en la vida real.

[2] Extraído del libro Numbers Behind the Numb3rs (Números, detrás de los Núm3ros), publicado en el año 2007 por la Editorial Plume, y cuyos autores son Kevin Devlin (uno de los gurúes de la divulgacion de la matemática en el mundo) y Gary Lorden, profesor en Cal-Tech, en Pasadena, California, quien fue el jefe de los consultores sobre temas matemáticos que tuvo la serie.

[3] Es que el señor dice en total “amarillo” 27 veces, pero de esas 27 solamente 12 son correctas. Por eso, la probabilidad de que sea amarillo se calcula dividiendo esos dos números: 12/27 = (aprox) 0,44444... O sea, las posibilidades de que sea amarillo superan el 44,44 por ciento.