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Durante muchos años, la Argentina (futbolística, y no tanto) vivió conmovida con un nuevo juego. Siempre pareció imposible que hubiera alguna forma de competir contra los sorteos de la lotería nacional. Pero, increíblemente, durante el verano de 1972, irrumpió el Prode (la palabra surge de Pronósticos Deportivos) y barrió con todo. ¿Qué era el Prode? O mejor dicho, ¿qué es?

Se trata de aprovechar los partidos de fútbol que se juegan en un fin de semana. Sí, ya sé. Eso sucedía hace 30 o casi 40 años. Hoy hay partidos de fútbol todos los días y, por lo tanto, sería imposible de implementar la forma clásica en la que se presentaba el Prode. Pero vuelvo a febrero de 1972. Cada fin de semana se jugaban 10 partidos de fútbol de Primera División. Todos ellos aparecían en una boleta (como se ve en la figura), y lo que había que hacer era decidir si el ganador sería el equipo local o el visitante, o también se podía optar por el empate. No hacía falta “acertar” con el marcador, sino solamente con el resultado.

Además, se incorporaban tres partidos más que correspondían a los partidos de los sábados de la Segunda División. De esa forma, se tenían 13 (trece) partidos en una misma boleta. Para completar las reglas, uno podía elegir dos posibles resultados (lo que se llamaba “un doble”) en alguno de los partidos, pero eso es irrelevante a los efectos del problema que quiero plantear acá.

Si usted cree que entendió el juego (que es realmente muy sencillo) advierte que es posible que alguien haga sus elecciones en una boleta y que acierte en todos los partidos. Es difícil, pero no imposible. De hecho, hubo varias veces personas que fueron ganadores del Prode. Para eso, tuvieron que acertar los trece resultados. Eso significaba conseguir los trece puntos.

Pero también, de la misma forma, podría pasar que uno... yerre en todos los resultados, para lo cual tiene que elegir sistemáticamente (en cada partido) un resultado diferente del que se dio. Eso sería equivalente, a sacar.... ¡cero puntos!

Una vez hecha esta introducción (que obviamente hubiera sido totalmente innecesaria hace 36 años... ya que todo el mundo sabía lo que era –y cómo se jugaba– el Prode), la pregunta que surge (y que invito a que piense) es la siguiente:

¿Qué es más difícil: sacar trece o cero puntos en el Prode?

Eso sí, le pido que no conteste tan rápido que “es igual”. La primera tentación es decir que es tan difícil acertar como errar. Y ciertamente, si bien es obvio que no es fácil acertar los trece resultados, también parece difícil sacar cero puntos. Sin embargo, ¡hay una diferencia!

La/lo ayudo: piense lo siguiente: ¿qué pasaría si hubiera un solo partido? ¿Cuántas respuestas serían correctas en ese caso? Sólo una. ¿Y cuántas incorrectas? Dos.

Es decir, si se jugara un solo partido habría una sola forma de acertar, pero dos formas de errar. Y esto último, es un dato no menor.

Ya con un solo partido, queda claro que es más fácil errar que acertar. Es más, con un solo encuentro, errar es el doble de fácil que acertar (esto resulta porque uno tiene dos resultados a favor, para errar, contra uno solo en contra, para errar también).

Termino el argumento. ¿Qué le parece que pasaría si en lugar de un partido, en la boleta aparecieran dos? ¿Qué sucedería en este caso?

Lo primero que hay que pensar es cuántas formas diferentes hay de dar posibles respuestas. En este caso, como son sólo dos partidos, hay 32 = 9 posibilidades:

L-L, L-E, L-V, E-L, E-E, E-V, V-L, V-E y V-V. *

De las 9, sólo una es correcta. En cambio, hay cuatro (22 = 4) formas de sacar cero puntos. ¿Por qué? Porque, supongamos (a los efectos de simplificar el argumento), que los dos partidos los ganó el local. Eso significaría que la única manera de sacar los dos puntos en juego sería haber elegido la boleta L-L.

En cambio, para sacar cero puntos, uno pudo haber elegido estas cuatro combinaciones (compruebe que con todas saca cero puntos):

E-E, E-V, V-E y V-V.

Si uno sigue este argumento, y piensa el problema (primero) como si hubiera tres partidos (siempre hay una manera sola de ganar y 23 = 8 de sacar cero), después si hubiera cuatro... y así siguiendo, hasta advertir que:

a) Hay una sola manera entre 313 = 1.594.322 de acertar todos los partidos

b) Hay una entre 213 = 8192 posibilidades de errar todos los resultados

Luego, la conclusión es que hay muchas más formas de errar que de acertar. Interesante, ¿no?

* La letra “L” significa que uno apuesta a que gana el equipo local, la letra “E” es la que identifica un empate, y la letra “V” indica triunfo del equipo visitante.