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Martin Gardner fue uno de los más prolíficos proveedores de ideas sobre matemática recreativa. Tengo la tentación de decir que fue “el más” prolífico de todos, pero en todo caso eso forma parte de la deformación que tenemos todos los humanos de encontrar siempre “el más” de todo: el que salta más alto, el que corre más rápido, el que llega más veces primero, el que más se destaca, el que más escribió, el que más rindió, etc., etc., etc.

De todas formas, mientras algunas cosas son opinables (el que “más” gustó, el que “más” convenció, el que “más” impresionó, etc.) hay otras que son “medibles”. Por ejemplo, se podría hacer una lista de todas las publicaciones de todos los autores que escribieron artículos sobre matemática creativa, contar y detectar cuál fue el que “más” contribuyó y se resuelve la cuestión. De la misma forma que quien salta más alto es fácilmente detectable tanto como el que corre más rápido, etc., etc.. ¿Por qué tendremos los humanos entonces esa necesidad?

Naturalmente, se abre otra discusión: un autor pudo haber escrito en forma muy prolífica y su obra no dejar ninguna huella. Y otros, escribir muy poco y, sin embargo, haber cambiado la historia de la humanidad; Einstein es un buen ejemplo. Escribió muy poco, publicó menos, pero no hay artículo más citado dentro de la física que su Teoría de la Relatividad. Es decir, la cantidad no garantiza calidad, ni mucho menos.

Luego de esta irrelevante digresión, voy a escribir acá –tal como había prometido– uno de los problemas de Martin Gardner. Dice así: Suponga que un amigo y yo nos encontramos en una reunión familiar. Sobre una mesa hay tres monedas. Mi amigo me hace la siguiente propuesta:

“Voy a tirar tres monedas al aire. Si todas salen ‘cara’, te doy diez pesos. Si las tres caen ‘ceca’, también te doy diez pesos. Pero si caen de cualquier otra forma, con cualquier otra combinación de caras y cecas que no sean todas iguales, entonces vos me tenés que dar cinco pesos a mí.”

Supongamos que vamos a tirar al aire las tres monedas varias veces y usted fuera mi asesor en este juego, ¿qué me aconsejaría? ¿Me conviene aceptar la propuesta de mi amigo?

No quiero avanzar mucho más sin darle oportunidad para que usted pueda dedicarle un rato y pensar qué es lo que más me conviene hacer. Yo sigo acá abajo.

Una forma de pensar el problema

Voy a proponer acá un razonamiento y la/lo invito a que le dedique unos minutos para analizar y decidir qué piensa sobre él. No se preocupe si lo que piensa está bien o mal, lo único que interesa es que invierta un mínimo de tiempo para decidir sobre su veracidad.

Uno podría pensar el problema así:

“Al tirar las tres monedas, seguro que dos de ellas tienen que caer del mismo lado (o bien dos caras o bien dos cecas). Esto sucede porque no hay una tercera opción. Por lo tanto, al tirar las tres monedas, seguro que dos repetidas tiene que haber. ¿Qué puede pasar con la tercera?: que sea igual a las otras dos o que sea distinta. Las posibilidades de que sea igual o distinta son iguales: 50 y 50. O lo que es lo mismo, la probabilidad de que salga igual o distinta es 1/2”.

¿Qué piensa usted? ¿Estará bien esa línea argumental?

Si a usted le parece que lo que escribí más arriba es correcto, usted me tiene que asesorar que acepte la apuesta de mi amigo, ya que yo tengo las mismas posibilidades que él de ganar. Pero además, si yo gano (o sea, si las tres monedas salen del mismo lado), él me tiene que pagar diez pesos, mientras que si gana él, yo le tengo que pagar cinco. O sea, las posibilidades parecen ser las mismas de ganar o de perder, pero cuando yo gano con las monedas, gano el doble de dinero que el que le tengo que pagar a él cada vez que pierdo. Parece un muy buen negocio para mí.

Sin embargo, estoy casi seguro de que usted detecta o intuye que hay algo que no está bien en ese razonamiento. Hay algo que hace ruido. ¿Qué será?

Miremos el problema de otra forma

¿Cuáles son todos los resultados posibles al tirar tres monedas? ¿De cuántas formas pueden salir? Voy a llamar con una letra C a las que salgan cara y con una X a las que salgan ceca. Entonces tenemos estos resultados posibles para las tres monedas:

XXX (tres cecas)

XXC

XCX

XCC

CXX

CXC

CCX

CCC (tres caras)

Como se ve, hay ocho posibles resultados. ¿Qué piensa usted ahora? ¿Me convendrá a mí aceptar la propuesta? Fíjese que de las ocho posibilidades, las únicas dos que me hacen ganar a mí son la primera y la última, cuando salen las tres cecas o las tres caras. A su vez, mi amigo tiene seis posibilidades a favor. Es decir, yo tengo dos sobre ocho posibilidades de ganar (2/8 = 1/4), mientras que él tiene seis sobre ocho maneras de llevarse el dinero (6/8 = 3/4). Es decir, la probabilidad de que él gane es en tres de cada cuatro veces que juguemos, mientras que la probabilidad de que gane yo es de una de cada cuatro veces.

Si jugáramos muchas veces, digamos 20 veces, la probabilidad de que yo gane es de una cuarta parte de las veces (o sea, cinco veces), por lo que él me tendría que pagar 50 pesos (10 pesos por cada triunfo mío). En cambio, la probabilidad de que gane él es de tres cuartas partes de las veces, es decir 15 sobre 20. En esas 15 veces, yo le tendría que pagar 75 pesos (5 pesos por cada una de las 15 veces). Por lo tanto, yo ganaría 50 pesos y él 75.

Si usted es un buen asesor me tendrá que decir: “¡No juegues, no te conviene!”.

El razonamiento original es equivocado, porque no contempla todos los posibles resultados, ya que hay seis formas de que salgan dos iguales y una distinta y solamente dos de que salgan las tres iguales. La probabilidad de que cada uno gane no es 1/2 y 1/2, sino 1/4 para mí y 3/4 para mi amigo.

En la vida cotidiana, en donde estamos expuestos a muchísimos juegos de azar (ruleta, lotería, loto, punto y banca, blackjack, etc., etc.), como el dinero que uno podría ganar es tan descomunal en función de la apuesta, uno tiene la tentación de dejarse seducir y jugar. Sin embargo, con un análisis que ligeramente mire por debajo de la superficie, uno debería decidir por única vez y para toda la vida: “No hay manera de ganar, ¡la banca gana siempre!”.