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Quiero presentar acá un problema que pareciera no tener solución, al menos ésa es la primera impresión. A medida que uno le dedica un rato a pensar, empieza a sospechar que podría haber alguna hendija por donde meterse y explorar. Puede que pase bastante tiempo, pero eso es (debería ser) irrelevante. El objetivo no es otro que entrenar nuestra capacidad lógica para elaborar estrategias. Créame que la satisfacción que produce compararse a uno mismo desde el momento en el que toma el primer contacto con la situación hasta que advierte qué es lo que hay que hacer para resolverlo es incomparable. De hecho, es una buena forma de conocer nuestras propias capacidades que permanecen dormidas, latentes, escondidas... elija el adjetivo que prefiera. Por eso, más que la solución propiamente dicha, lo que vale la pena es el trayecto, la ruta y el descubrimiento que lleva involucrado cada paso. Acá va.

La historia es obviamente ficticia y está narrada en Internet y en textos antiguos con todo el “sabor” que supuestamente tenían los cuentos de varios siglos atrás. Voy a tratar de conservar el texto original:

“Dos sabios de un pueblo fueron encarcelados por un rey malvado. Este, para comprobar la inteligencia de los sabios, los encerró en celdas separadas de una torre: una miraba hacia el Este y la otra hacia el Oeste, de modo que no pudieran comunicarse entre sí. Entre ambos, podían ver todas las ciudades que componían el reino, pero ninguna ciudad era visible a la vez por los dos. El rey les dijo que las ciudades del reino eran cinco u ocho y que ambos serían liberados de inmediato luego de que alguno de ellos le comunicase al carcelero, que cada mañana les llevaba la comida, cuántas ciudades integraban el reino. Además, el rey les dijo que tenían una semana o acabarían en la horca. Pero a la tercera mañana, los dos sabios fueron liberados luego de que uno de ellos averiguara a través de un procedimiento lógico de cuántas ciudades se componía el reino. ¿Qué proceso lógico los llevó a resolver su problema? ¿Cuántas ciudades componen el reino?”

Es decir, el problema consiste en deducir –usando solamente recursos lógicos– cómo hizo uno de los sabios para descubrir a la tercera mañana de estar encerrados la cantidad de ciudades que componían el reino. De antemano, los sabios conocían que había dos posibilidades: o bien cinco o bien ocho. Ahora le toca a usted.

Solución: No sé cuánto tiempo le dedicó usted a pensar el problema. Sería una lástima que lea siquiera la primera parte de la solución sin ofrecerse a usted mismo una oportunidad. Es sólo una sugerencia.

Voy a empezar con una pregunta y verá entonces cómo empieza a vislumbrarse un camino por donde andar. Supongamos que usted fuera uno de los sabios y que no bien llega a su lugar en su torre, viera que hay ocho ciudades. Claramente, como el rey les dijo a los dos que había cinco u ocho ciudades, si usted ve ocho es porque las está viendo a todas. Claramente, usted podría contestar la pregunta del rey inmediatamente. Cuando el carcelero llegue a la mañana siguiente, usted estaría en condiciones de dar la respuesta.

En consecuencia, como usted sabe que a la primera mañana ninguno de los dos contestó es porque ninguno de los dos vio ocho ciudades. Pero más aún (como me imagino que usted debe estar pensando): no sólo ninguno vio ocho ciudades, sino que ninguno pudo haber visto ni siete ni seis. Si no, ya sabría que en total hay ocho (ya que no podría haber cinco). Luego, en función de que ninguno contestó la primera mañana podemos eliminar algunas combinaciones: (8,0) (0,8) (7,1) (1,7) (2,6) y (6,2). Pongo entre paréntesis las ciudades que ve cada uno. Por ejemplo (1,7) significa que el que mira hacia el Oeste ve una ciudad y el que mira hacia el Este ve siete.

Ahora estamos en condiciones de escribir todas las posibilidades que quedan:

(3,5),(4,4),(5,3) si fueran 8 ciudades y

(0,5),(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),(5,0) si fueran 5 ciudades.

Avancemos. Supongamos que uno no viera ninguna ciudad. Eso significa que el otro está viendo cinco (ya hemos eliminado luego del primer día las posibilidades (8,0) y (0,8)). Pero si a la segunda mañana el otro sabio no dijo nada es porque ¡no está viendo cinco ciudades! Luego es posible descartar también los pares (5,0) y (0,5).

¿Y si alguno de los sabios viera una o dos ciudades? Como ya eliminamos (1,7), (7,1), (2,6) y (6,2), si alguno de ellas viera una o dos ciudades, el otro debería estar viendo o bien cuatro o bien tres ciudades (porque estaríamos en alguno de estos casos: (2,3) o (3,2) o bien (4,1) o (1,4)). Luego, si ninguno dijo nada después del segundo día, es porque podemos eliminar también estas posibilidades:

(0,5),(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),(5,0)

En resumen, luego del segundo día, si ninguno dijo nada, es porque queda claro que hay en total ocho ciudades. Ya no importa saber cómo es la distribución, pero en todo caso las tres alternativas son las siguientes:

(3,5),(4,4),(5,3)

Y con esto queda resuelto el problema.

¿No es notable que habiendo partido de algo que parecía imposible hubiéramos llegado hasta acá? Como ninguno de los sabios pudo contestar ni al primero ni al segundo día, eso fuerza la situación hasta llevarla a que no puede haber cinco ciudades, sino ocho. Y eso era todo lo que había que deducir.

No sé qué le pasó a usted, pero créame que a mí me fascina la capacidad que tenemos los humanos de poder encontrar un hecho escondido, oculto y que parecía inalcanzable, usando simplemente la herramienta más poderosa que tenemos: el cerebro.

* Este problema precioso se lo debo a Pablo Coll, doctor en matemática y guionista/proveedor de contenidos de Alterados por Pi, el programa que se emite en el Canal Encuentro dedicado a la difusión de la matemática. El crédito le corresponde todo a él.