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Este problema enseña a pensar (por supuesto, en un caso particular), pero la idea es educar la intuición. Y poder decidir mejor o, en todo caso, tomar decisiones más “educadas”, en aquellas situaciones de la vida en las que uno tiene que optar. Estaba caminando por la Facultad de Ciencias Exactas de la UBA cuando me encontré con Teresita Krick, matemática, profesora también y, sobre todo, muy buena amiga.

“Adrián, tengo un problema interesante para vos –me dijo en un descanso de la escalera–; ¿tenés tiempo para que te lo cuente? Te va a servir para el final de cada programa de tele.”

“Sí –le digo–, bienvenida sea toda historia que sirva para pensar.” “Bueno, la historia es así: se tienen dos vasos iguales. Uno contiene vino (llamémoslo V) y el otro agua (llamado A). Los dos tienen la misma cantidad de líquido. Uno toma una cuchara, digamos de sopa para que sea lo suficientemente grande, aunque no es imprescindible, y la hunde en el vino. La llena (a la cuchara) y, sin que se caiga nada, vierte el vino que sacó en el vaso que contiene el agua. Y revuelve. Es decir, mezcla el agua y el vino. Claramente, el vaso llamado A tiene ahora un poco más de líquido que el vaso V. Más aún, lo que le falta de líquido a V, lo tiene de más el vaso A.

“Ahora bien –siguió Teresa–. Una vez que uno revolvió bien el contenido del vaso A, vuelve a meter la cuchara en el vaso A y vuelve a llenar la cuchara. Claramente, lo que uno está eligiendo ahora no es agua pura, sino una mezcla. Pero no importa. Llena la cuchara con ese líquido y lo pone ahora en el vaso V”.

Teresita me miraba fijo. Yo todavía no sabía hacia dónde iba, pero la dejé seguir:

“Si mezclamos otra vez el líquido en el vaso V, ¿qué te parece que pasa ahora? ¿Hay más agua en el vino o más vino en el agua?”

Fin del problema. Ahora, hay que pensar. El problema no tiene trucos, ni trampas. Se supone que el agua y el vino no se mezclan, en el sentido de que no cambian sus propiedades. Sé que esto no es cierto, pero a los efectos del problema vamos a suponerlo así.

Respuesta

La cantidad de agua en el vino es la misma que la cantidad de vino en el agua.

¿Cómo convencerse de que esto es cierto? Hay varias maneras de pensar este problema. Yo voy a sugerir dos, pero se puede resolver de múltiples formas (y estoy seguro de que la que eligió usted es mejor que cualquiera de las dos que figuran acá abajo, aunque más no sea porque es la “suya”, la que imaginó usted).

Primera solución

Las cantidades de líquido que había en cada vaso eran las mismas (antes de empezar el problema). Pero además, y esto es importante, las cantidades de líquido que hay al final, luego de haber mezclado en ambos vasos, también es igual.

Ahora bien: está claro que algo de vino quedó en el vaso A. Pero también es claro que algo de agua quedó en el vaso V.

Ese algo de agua que falta en el vaso A, está en V.

Y ese algo de vino que falta en el vaso V, está en A.

Si esas cantidades no fueran iguales, eso querría decir que en uno de los dos vasos hay más líquido. Y eso no puede ser. Como las cantidades finales son las mismas, entonces, eso implica que lo que falta de agua en el vaso A es igual a lo que falta de vino en el vaso V.

Y eso era lo que queríamos demostrar.

Segunda solución

Vamos a hacer un modelo distinto sobre el mismo problema. En lugar de líquido, vamos a suponer que hay bolitas de distintos colores en cada vaso.

Supongamos que en el vaso V hay mil bolitas verdes y en el vaso A hay mil bolitas azules. Suponga que en ambos vasos hay 1000 (mil) bolitas. Suponga que usted toma una cuchara y saca del vaso V 30 bolitas (verdes) y las pasa al vaso A (en donde están las azules).

Ahora, en el vaso V, quedan 970 bolitas (todas verdes) y en el vaso A, quedan 1030 bolitas (1000 azules y 30 verdes que acabo de pasar con la cuchara).

Ahora mezclamos las bolitas del vaso A. En su mayoría, son bolitas azules, pero ahora hay también 30 bolitas verdes. Para replicar lo que hacíamos con el agua y el vino, ahora volvemos a usar la cuchara. La hundimos en el vaso A en donde están las 1030 bolitas, y a los efectos de poder avanzar con el pensamiento, vamos a suponer que nos llevamos 27 azules y 3 de las verdes que habían pasado originalmente (los números que elegí son arbitrarios, usted puede cambiarlos si quiere).

Estas treinta bolitas, las volvemos a depositar en el vaso V. Por favor, tome nota de que en el vaso A quedaron ahora 973 azules y 27 verdes. Pero ahora, al haber pasado las treinta bolitas del vaso A al vaso V, los dos tienen la misma cantidad de bolitas: mil.

En el vaso V quedaron 970 verdes que nunca fueron tocadas, más 27 azules que deposité la segunda vez que pasé la cuchara, más 3 verdes que volvieron también. O sea, hay 973 verdes y 27 azules.

Conclusiones:

a) En ambos vasos hay la misma cantidad de bolitas; b) en el vaso V hay 973 verdes y 27 azules; c) en el vaso A, hay 973 azules y 27 verdes.

Como se ve, hay la misma cantidad de verdes entre las azules que de azules entre las verdes. O si usted quiere, hay la misma cantidad de agua en el vino que de vino en el agua.

Final con moraleja incluida: para resolver este problema, es obvio que no hace falta saber resolver ecuaciones, ni hace falta saber modelar con bolitas. Hay gente que llega a la respuesta razonando como en la primera solución. Y otra, razonando como en la segunda. Más aún: como escribí más arriba, estoy seguro de que mucha gente lo resuelve de otras formas.

Por eso, no hay una única manera de resolver problemas. Lo que es interesante es ser capaces de pensar. No importa tanto qué caminos uno toma: todos iluminan.