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El siguiente problema es verdaderamente fascinante. Si uno lo quiere abordar en forma directa creo que se enfrentará con múltiples complicaciones. En cambio, si uno puede ingeniarse para pensarlo desde otros ángulos, es un problema no sólo sencillo sino verdaderamente muy fácil.

Aquí va: una persona está al pie de una montaña. La montaña tiene un sólo camino hacia la cumbre. El señor decide escalarla y sale a la cero hora del día lunes (o sea, a la medianoche del domingo). No importa la velocidad a la que asciende ni lo que hace en el trayecto (incluso puede parar o bajar, si quiere), pero lo que se sabe es que 24 horas más tarde el señor está en la cumbre. O sea, a la medianoche del lunes seguro que llegó a lo más alto.

Ahora bien: una vez arriba, se queda un tiempo allí (no importa cuánto), digamos seis días, y exactamente a la medianoche del siguiente domingo, o sea la cero hora del lunes, comienza el descenso. Igual que antes, no importa de qué forma camina hacia abajo (por la única ruta que existe) y, como la semana anterior, puede parar para descansar, o subir un poco... en definitiva, es libre de hacer lo que quiera. Pero, lo que sí se sabe, una vez más, es que a la medianoche del lunes, 24 horas más tarde, ya está abajo.

El problema consiste en lo siguiente: probar que existe al menos un lugar en donde el hombre estuvo a la misma hora, tanto al subir como al bajar.

Lo planteo de otra forma. Convénzase de que no importa cómo haya hecho para subir o para bajar, tiene que haber al menos un lugar en el camino que une la base con la cima, por el que el señor pasó en el mismo horario tanto a la ida como a la vuelta.

Por ejemplo, si el señor recorriera la mitad del trayecto en 12 horas, esto significaría que a las 12 del mediodía estará en el mismo lugar al subir y al bajar. Obviamente, esto es sólo un ejemplo, ya que como el hombre tiene total libertad para la ida como para la vuelta, no tiene por qué recorrer la mitad del trayecto en 12 horas. Uselo, si le parece, como una manera de fijar las ideas de lo que escribí más arriba.

Solución

Estoy seguro de que este problema debe tener muchas maneras de abordarlo. Yo voy a presentar una, que es la que me queda más cómoda, pero valdrá la pena que usted le dedique tiempo sin leer lo que sigue. Parece muy complicado, porque como uno no sabe qué hizo el hombre ni al subir ni al bajar (ya que pudo haberse quedado descansando horas, subir, bajar, volver a subir, volver a bajar, etc.), ¿cómo hacer para contestar el problema en todos los casos? Veamos los siguientes dibujos:

¿Qué tendrán que ver estos gráficos con el problema? Más aún: ¿qué tendrá que ver este problema con “la matemática”?

Hagamos de cuenta que en lugar de un sólo señor, hay dos. Uno sale desde abajo hacia arriba, y el otro, al revés, de arriba hacia abajo. En la figura 1, se ve al primero, y en la figura 2, al segundo. Lo que está representado, por un lado, es el tiempo que van recorriendo (en el segmento horizontal de cada rectángulo) y la altura en la que se encuentran en cada momento, está representada por el segmento vertical. Ambos salen a la cero hora del lunes y llegan a las 24 a destino. Eso sí: como los dos usan el mismo camino, en algún momento del recorrido ¡se van a tener que encontrar! (y esto es lo que muestra la figura 3). Es que más allá de lo que hagan durante el trayecto (descansar un poco, subir, bajar, quedarse en un lugar durante mucho o poco tiempo... no importa), como uno sube y el otro baja, tiene que haber al menos un lugar de la montaña en la que se tropiezan uno con otro. ¡Y eso es lo que necesitábamos!

¿Por qué? Porque esta forma de pensar el problema, permite resolver lo que había planteado originalmente. ¿Cómo usar este modelo entonces para el caso que nos ocupa? Bueno, recién suponíamos que había dos señores, uno que subía y otro que bajaba, pero el mismo día. De hecho, si ahora tomáramos el problema original, y en lugar de dos hombres hay uno solo, lo que acabamos de ver demuestra que tiene que haber alguna altura de la montaña (al menos una) en donde el hombre pasó al subir y al bajar ¡a la misma hora! Y justamente eso, era lo que queríamos demostrar.

Por último, ¿qué tiene que ver esto con la matemática? Es que con la figura 3 uno ve que como las dos curvas que representan las trayectorias son continuas y unen, una de ellas, el extremo superior izquierdo con el inferior derecho, y la otra, el inferior izquierdo con el superior derecho... Esas dos curvas ¡se tienen que cortar por lo menos una vez! Y eso es justamente lo que me hacía falta para demostrar lo que queríamos.

Lo que este problema enseña es que si bien el planteo original lo exhibe como muy complicado y difícil para pensar, puesto de la otra forma, parece una tontería. El objetivo entonces es entender que muchas veces vale la pena pensar distinto, desde otro ángulo. Hay veces que una dificultad, por más inaccesible que parezca, ofrezca otra forma de mirarla que la transforme en algo muy sencillo de resolver. Es sólo cuestión de paciencia y entrenamiento.