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Una pregunta muy sencilla. Usted tiene un dado (de seis caras, como es usual). Tiene dos colores para pintarlo, digamos Blanco y Negro (B y N). ¿De cuántas formas posibles puede hacerlo?

Como ve, es un problema muy simple. En todo caso, todo lo que hay que saber hacer es... contar.

A lo largo de lo que sigue, yo voy a interrumpirla/o un par de veces, como para darle tiempo a que piense.

Por ejemplo ahora: fíjese si puede contestar la pregunta tal como la entendió.

¿Cuántas formas encontró? Antes de leer la respuesta, que figura sobre el final de esta nota, me gustaría recorrer con usted un par de caminos.

Uno tiene la tentación, en principio, de decir que como el dado tiene seis caras, y cada cara la puedo pintar de dos colores, entonces tendríamos

2*2*2*2*2*2 = 26 = 64 posibilidades (*)

Sin embargo, tanto usted como yo sabemos que estas 64 posibles maneras de pintar el dado no son todas distintas. Estamos contando varias veces lo mismo. De hecho, un dado se puede rotar. Se lo puede hacer girar. Y eso reduce muchísimo el número de posibilidades. ¿Quiere pensar de nuevo, entonces?

Sigo yo. Analicemos los casos (y usted deje de leer cuando siente que ya puede avanzar sola/solo). Justamente el hecho de que un dado se pueda rotar hace que varias coloraciones sean indistinguibles. Lo que hay que hacer es contar bien estos casos.

Para eso, voy a separar cada situación de acuerdo con el número de caras que estén pintadas de cada color. Es decir, los casos posibles son:

6-0 (seis caras del mismo color)

5-1 (cinco caras de un color y la restante distinta)

4-2 (cuatro caras de un color y las dos restantes del otro)

3-3 (tres de cada color)

¿Quiere analizar usted por su cuenta?

Sigo. Obviamente, el caso 6-0 es el más fácil: hay una sola forma (por color): todo de “blanco” o todo de “negro”. En total, 2 (dos).

En el caso 5-1, igual que en el anterior, sólo hay una forma por color. Por ejemplo, si uno tiene 5 (cinco) caras pintadas de negro y la restante de blanco, al rotar el dado uno advierte que ésa incluye cualquier otra posibilidad. Pero, como hay dos colores, podemos pintar 5 de negro y 1 de blanco o bien 5 de blanco y 1 de negro. Resumen: 2 (dos).

El caso 4-2 requiere pensar un poco más. Una manera es que las dos caras pintadas de un color (digamos blanco) estén enfrentadas, y las cuatro restantes del color que queda (negro). Esa es una forma. Cambiando el color (blanco por negro y viceversa) se tienen en total 2 (dos) formas.

Pero otro caso que hay que contemplar es que uno puede tener dos caras adyacentes (pegadas por una arista) que estén pintadas de un color (digamos blanco) y las cuatro restantes del otro color (negro). Esta distribución de colores no está contemplada en el caso anterior y, por lo tanto, provee una configuración distinta. Una vez más, intercambiando los colores, se obtienen otras 2 (dos) formas más.

En total, entonces, hay 4 (cuatro) formas distintas de pintar el dado en el caso 4-2.

Por último, falta analizar el caso 3-3 (tres caras de cada color). ¿Lo quiere pensar por su lado, ahora?

Elijamos un color: digamos blanco. Las tres caras pintadas de blanco pueden tener un vértice común (trate de imaginárselo usted). Las otras tres caras (que también tienen un vértice común) van pintadas del otro color. Esta es una distribución posible de los colores.

Pero hay otra configuración a considerar: cuando las tres caras pintadas del mismo color son consecutivas. Es decir, la tapa de arriba y abajo del dado, y una de las caras laterales (y le pido que no avance si no piensa usted por su cuenta cada caso). Por supuesto, las tres caras restantes van pintadas de negro.

O sea, hay 2 (dos) formas más. La pregunta es (en este caso): ¿hace falta intercambiar el blanco con el negro como en los otros casos? ¿Hay que multiplicar por dos, como hicimos antes?

La respuesta es no. Cada configuración que acabo de describir para tres y tres contempla ambos colores.

Por lo tanto, en resumen:

6-0 : 2 configuraciones

5-1: 2 configuraciones

4-2: 4 configuraciones

3-3: 2 configuraciones

Total: 10 (diez)

Claramente, la respuesta que uno intentaba dar al principio estaba muy lejos de la correcta.

Moraleja: Este problema es evidentemente muy sencillo. Eso sí. Es sencillo, pero uno corre el riesgo de equivocarse si no cuenta bien. Y contar, sin tener que hacer una lista de todos los casos, es un tema no menor dentro de la matemática. Una cosa es saber cuántas personas hay en una guía telefónica. Otra distinta es tener que escribir todos los nombres. Esa rama que cuenta sin listar se llama combinatoria.

* ¿De dónde aparece este número? Porque, por ejemplo, si las caras estuvieran numeradas (pongamos del 1 al 6), entonces la cara número 1 podríamos pintarla de dos colores, y para cada una de estas dos formas, la cara número 2 también podríamos pintarla de dos colores, y lo mismo con la 3... y así siguiendo hasta llegar a la cara 6. Como en cada caso se abren dos posibilidades, en total tendríamos 64 maneras diferentes, como escribí más arriba.