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En noviembre próximo se van a cumplir ocho años desde que empezaron a aparecer estas columnas de matemática en la contratapa de Página/12. Como conté algunas otras veces, fue desafío de Ernesto (Tiffenberg), que en tanto director del diario intentó disimular su osadía:

–Vos escribí de lo que quieras –me dijo aquel mediodía en un bar/restaurant de la zona de Retiro.

–Mirá que yo podría escribir la demostración del Teorema de Pitágoras –repliqué.

Y así fue. Aparecieron en estas mismas contratapas problemas sobre puentes de Konisberg, criptografía, cicloides, probabilidades, teoría de juegos, fixtures de fútbol, sudokus, conjuntos infinitos, pensamiento lateral, multiplicar y dividir sin saber las tablas, la conjetura de Goldbach, dobleces a un papel de biblia, pensamientos estratégicos, encuestas, la división por cero, las paradojas de Bertrand Russell pero también la de Allais, truelos y preguntas prohibidas, hubo llamados a Godel y la belleza de la matemática, cómo embarcar un avión y problemas de Fermi, referencias a Alan Turing y a Fermat, a John Conway y a Martin Gardner, atentados contra la intuición, primos gemelos, la Ley de Benford, la lotería infinita, los falsos positivos, los años bisiestos, loterías infinitas, el costado lúdico de la matemática y, por supuesto, el número pi. La lista continúa deslizándose por 250 artículos. Son muchos.

Quiero recurrir –una vez más– a un problema que requiera algún análisis lógico, algo que invite a imaginar escenarios como si uno fuera un detective. Es por eso que he buscado alguna versión que no hubiera incluido en ninguna de las contratapas anteriores. Y encontré ésta que incluyó en uno de sus trabajos Raymond Smullyan, uno de los más prolíficos inventores y generadores de problemas lógicos y de juegos usando matemática recreativa. El crédito, entonces, es para él. Yo solamente hago de intermediario. Acá va.

Una compañía situada en la época de Al Capone, en Chicago, estaba a la búsqueda de contratar detectives que tuvieran un alto nivel de preparación intelectual. Para eso, no se requería haber estudiado mucho, ni tener un conocimiento enciclopédico, sino tener desarrollada la capacidad para pensar en cosas que no son necesariamente las habituales.

¿Cómo hacer para encontrar buenos candidatos? ¿Cómo descubrirlos? El presidente de la compañía, después de una selección que ya habían hecho sus asistentes, termina reunido con los tres mejores. Se junta con ellos en su oficina y les dice cómo va a hacer para determinar quién se quedaría con la posición vacante.

Les muestra dos marcadores, uno negro y otro rojo. Les dice que les va a tapar los ojos y les va a hacer a cada uno una marca en la frente. Afirma, además, que uno de los tres al menos tendrá una marca de color negro, pero podría ser que hubiera más de una. Eso sí: cuando les destape los ojos, elegirá un orden cualquiera y les irá preguntando de a uno por vez si pueden determinar el color con el que tienen pintada la frente. El primero que llegue a una conclusión correcta y que pueda explicarla racionalmente tendrá el puesto asegurado dentro de la compañía.

Dicho esto, cuando los tres candidatos dijeron haber entendido el procedimiento, les tapó a los tres los ojos y les hizo a los tres una marca de color negro.

Una vez que se hubieron secado las marcas, les quitó el pañuelo con el que les había tapado los ojos y cada uno de ellos miró inmediatamente la frente de los otros dos. Los tres vieron entonces que los otros dos tenían una marca de color negro. El presidente empezó por uno cualquiera: “¿Puede contestar de qué color tiene marcada la frente?”. El candidato contestó: “No, no puedo”. Le preguntó al siguiente: “¿Y usted?”. “Tampoco”, dijo el segundo. El tercero, entonces, dijo inmediatamente: “¡Yo tengo una marca de color negro!”.

¿Cómo hizo esta persona para llegar a esa conclusión?

Ahora le toca a usted. Le sugiero que le dedique un rato para pensar e imaginar diferentes posibilidades. Por supuesto que la solución figura más abajo, pero como usted advierte, el problema en sí mismo es muy sencillo, y todo lo que se requiere es tener ganas y tiempo de pensarlo. No hace falta “saber” nada particular, solamente se necesita utilizar su capacidad de análisis.

Solución

La solución pasa por lo siguiente. El tercero sabe que tiene la frente pintada de negro, porque si él la hubiera tenido pintada de rojo, alguno de los dos anteriores –razonando lógicamente– hubiera sabido de qué color tenía pintada la frente “antes” que le tocara el turno a él. Veamos.

En lo que sigue, quiero convencerla/convencerlo de que el tercero tenía una manera de deducir de qué color tenía marcada la frente, no sólo porque veía que los otros dos la tenían marcada de negro (esto solo no hubiera sido suficiente), sino porque escuchó que los dos anteriores no pudieron contestar. ¿Cómo hizo? En principio, el tercero hizo la siguiente reflexión: “Supongamos que yo –pensó– tuviera la frente pintada de rojo”.

Voy a mostrar ahora que, si así fuera, entonces alguno de los dos anteriores debió haber contestado antes qué color tenía en la frente.

Supongamos entonces que el tercero tiene la frente pintada de rojo. ¿Qué podría pasar con el segundo? Podría tenerla pintada de rojo o de negro.

Si tuviera la frente pintada de rojo, entonces el primero habría visto que el segundo y el tercero tenían la frente pintada de rojo. Como el presidente de la compañía había dicho que al menos uno de los tres tendría la frente pintada de negro, el primero sabría que él tenía la frente pintada de ese color y por lo tanto, él se quedaría con el puesto en la compañía.

Pero como el primero no pudo contestar, esto le está indicando al segundo que él (el segundo) tiene la frente pintada de negro (ya que si la tuviera de rojo, el primero habría contestado antes). Luego el segundo hubiera sabido que tenía pintada la frente de negro y habría ganado el lugar.

Esto muestra que si el tercero tiene pintada la frente de rojo, o bien el primero o bien el segundo hubieran podido contestar antes. Como ninguno de los dos lo hizo, eso significa que el tercero tiene la frente pintada de negro, y listo.

Lo interesante de pensar este problema es que, como usted detecta, uno nunca va a estar enfrentado a una situación de este tipo. Es un problema totalmente irreal, imposible de replicar en la vida cotidiana. Pero lo que aspiro a que usted sí acuerde conmigo es que este tipo de situaciones en donde uno necesita analizar diferentes posibilidades y/o combinaciones, imaginar potenciales escenarios futuros dependiendo de que uno asuma tal hipótesis y no tal otra, decía, este tipo de situaciones sí son problemas de la vida real. Y de ahí, me parece, la utilidad de analizarlas y entrenarse.